Zeigen Sie, dass eine Abbildung dieser Form genau dann linear ist, wenn b der Nullvektor

Question

Aufgabe:

Sei V ein K-Vektorraum. Betrachten Sie Abbildungen der Form f : V → V, x → mx + b
mit m ∈ K, b ∈ V .
Zeigen Sie, dass eine Abbildung dieser Form genau dann linear ist, wenn b der Nullvektor
ist.

Problem/Ansatz

Ich weiß, dass die Funktion im allgemeinen keine lineare Abbildung im Sinne der linearen Algebra ist.

Aber mann kann beweisen, dass die proportionale lineare Funktion f(x)=kx+d, mit d=0 eine lineare Funktion im Sinne der linearen Algebra ist. Das kann mir vielleicht helfen. Ich weiß nicht wie es weiter geht.

Ich hoffe, dass jemand mir helfen kann.

Danke im Voraus.

Answer 1

f : V → V, x → mx + b linear ==>  Für alle x,y ∈ V gilt

                f(x+y) = f(x) + f(y)

<=>     m(x+y)+b = mx+b + my+b

<=>  mx + my + b = mx+b + my+b

 <=>              b = 2b

<=>                 b=0

umgekehrt: wenn b=0 dann ist

              f(x) = m*x und da gilt

       1. f(x+y)= f(x)+f(y) weil m(x+y)=mx +my und

       2. f(k*x) = k*f(x) weil m*(k*x) =  k*mx

Comments

Danke sehr! Jetzt habe ich alles verstanden!:)