Zeigen Sie dass dann das orthogonale Komplement zu U,

Question

Aufgabe

Text erkannt:

thogonale Komplement zu \( U \),
\( U^{\perp}:=\{v \in V \mid\langle v, u\rangle=0 \text { für alle } u \in U\} \)
alls ein Unterraum von \( V \) ist.

Sei V ein Euklidischer Vektorraum und U ein Unterraum von V. Zeigen Sie dass dann das orthogonale Komplement zu U,
Ut: = {0 EV | (v, u) = 0 für alle u E U}
ebenfalls ein Unterraum von V ist.
Problem/Ansatz:

Answer 1

\(U^{\perp}:=\{v \in V \mid\langle v, u\rangle=0 \text { für alle } u \in U\} \)

Seien \(v,w \in U^{\perp} \) ==>   <v,u>=0 und <w,u>=0 für alle u∈U

==>   <v+w,u> = <v,u>+<w,u>=0+0 = 0  für alle u∈U, also \(v+w \in U^{\perp} \).

Ähnlich zeige auch \(av \in U^{\perp} \) für alle a∈ℝ und \(v \in U^{\perp} \).

Und \(0 \in U^{\perp} \) ist auch erfüllt.  Also \(U^{\perp} \) ein Unterraum.