0 Daumen
1,2k Aufrufe
Die Hyperbelfunktionen oder hyperbolischen  Funktionen Cosinus hyperbolicus und Sinus hyperbolicus sind definiert durch:

cosh(x):= 0,5(exp(x) + exp(-x)) und 
sinh(x):= 0,5 (exp(x) + exp(-x))                 ( x Element ℝ.)

a) Bestätigen Sie die Formel
cosh2(x) - sinh2 (x)= 1             (x Element ℝ)

b)Zeigen Sie, dass die Funktion sinh:ℝ→ℝ streng monoton wachsend und bijektiv ist, und dass die Umkehrfunktion arsinh:ℝ→ℝ (Areafunktion) stetig ist und gegeben ist durch:
             arsinh(x)=ln(x+√(x2 +1))
von

Bei einer deiner Definitionen ist noch ein Vorzeichenfehler. Es kann nicht zwei mal + da stehen.

b) findest du zum Grossteil hier: https://www.mathelounge.de/188722/umkehrfunktion-von-sinh

1 Antwort

0 Daumen

zu b) wurde von Lu bereits ein Hinweis gegeben.

zu a) einfach einsetzen

cosh2(x) - sinh2 (x)= 1

Mit cosh(x) = 0,5*(ex + e-x) und sinh(x) = 0,5*(ex - e-x)

-> (0,5*(ex + e-x))2 - (0,5*(ex - e-x))2 =  0,52*(ex + e-x)2 - 0,52*(ex - e-x)2

-> 0,25*(e2x + 2*ex*e-x  + e-2x)  - 0,25*(e2x - 2*ex*e-x  + e-2x) = 0,25*e2x + 0,5*ex*e-x  + 0,25*e-2x  - 0,25*e2x + 0,5*ex*e-x  - 0,25*e-2x  = ex*e-x = ex-x = e0 = 1

von 5,4 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community