Konvergenz oder absolute Konvergenz?

Question

Aufgabe:

Untersuche für welche x element R die Reihe

Text erkannt:

$\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{3^{n}+n}{5^{n}} x^{n}$

konvergent bzw. absolut konvergent ist.

Comments

Bestimme den Konvergenzradius, in diesem Konvergiert die Reihe absolut :)

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Aber wie geht das denn, verstehe einfach nicht wie ich anfangen soll

Answer 1

Wurzelformel anwenden auf $a_n = \frac{3^{n}+n}{5^{n}}$

$$\sqrt[n]{a_n} = \frac 35 \sqrt[n]{1+\frac{n}{3^n}}\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow} \frac 35$$

Konvergenzradius: $r = \frac 1{\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n}} = \frac 53$

Daher absolut konvergent für $|x| < \frac 53$

Teste $x = \pm\frac 53$:

$\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{3^{n}+n}{5^{n}} x^{n} = \sum \limits_{n=0}^{\infty} (\pm 1)^n \left(1+\frac n{3^n}\right) \Rightarrow$ keine Konvergenz.