Aloha :)
In meiner Antwort treten Integrale auf, die keine besonderen Tricks zur Berechnung erfordern, mir aber unnötig Tipparbeit machen würden. Daher schreibe ich nur die Ansätze und die Ergebnisse auf und überlasse dir die Freude an der Berechnung.
Eine Wahrscheinlichkeitsdichte$$f(x)=\frac{3}{40\,000}(x-7)(27-x)^2\quad\text{für }7\le x\le27$$muss (a) stets \(\ge0\) sein und (b) in ihrer Gesamtheit auf \(1\) normiert sein. Wegen \(x\ge7\) sind alle Faktoren \(\ge0\), sodass \(f(x)\ge0\) für alle \(x\in[7;27]\) gilt. Wir prüfen noch die Normierung.$$\int\limits_7^{27}f(x)\,dx=\frac{3}{40\,000}\int\limits_7^{27}(x^3-61x^2+1107x-5103)\,dx=\cdots=1\quad\checkmark$$
Zur Bestimmung von Erwartungswert und Varianz berechne zuerst:$$\left<X\right>=\int\limits_7^{27}x\cdot f(x)\,dx=\frac{3}{40\,000}\int\limits_7^{27}(x^4-61x^3+1107x^2-5103x)\,dx=\cdots=15$$$$\left<X^2\right>=\int\limits_7^{27}x^2\cdot f(x)\,dx=\frac{3}{40\,000}\int\limits_7^{27}(x^5-61x^4+1107x^3-5103x^2)\,dx=\cdots=241$$Daraus folgt:$$E(X)=\left<X\right>=15$$$$V(X)=\left<X^2\right>-\left<X\right>^2=241-15^2=16$$
Die einzelnen Massen der \(96\) Behälter sind unabhängig voneinander, daher addieren sich die Erwartungswerte und die Varianzen:$$\mu=96\cdot E(X)=1440\quad;\quad\sigma^2=96\cdot V(X)=1536$$und mit der Standard-Normalverteilung \(\phi(z)\) erhalten wir die Wahrscheinlichkeit, dass die Gesamtmasse \(M\) größer als \(1500\,\mathrm{kg}\) ist:$$P(M>1500)=1-P(M\le1500)=1-\phi\left(\frac{1500-\mu}{\sigma}\right)=1-\phi\left(\frac{1500-1440}{\sqrt{1536}}\right)$$$$\phantom{P(M>1500)}=1-\phi(1,5309)=1-0,9371=0,0629\approx6,3\%$$
