Maximum von cos(t) - sin(t).

Question

Hallo, ich habe eine Frage zu der Aufgabe hier:

Es sei f : R² → R mit f(x,y) := xsin(y − x) und v = (cost,sint) für t ∈ [0, 2π).
(i) Berechnen Sie die Richtungsableitung von f im Punkt (1, 1) in Richtung v.
(ii) Bestimmen Sie t ∈ [0, 2π) so, dass die Richtungsableitung maximal wird, und berechnen Sie
diesen Wert.
(iii) Bestimmen Sie die Hesse-Matrix D² f(x,y) von f in einem beliebigen Punkt (x,y) ∈ R²

Die i) hab ich schon gelöst, da hab ich jetzt cos(t) + sin(t) raus, jedoch komme ich bei der ii) nicht weiter. Normalerweise muss man ja die Ableitung gleich 0 setzen aber ich weiß nicht wie ich cos(t) - sin(t) = 0 ausrechnen soll. Kann da jemand helfen?

Comments

Hi Holishet,

Ich komme bei der (i) schon nicht weiter könntest du deine lösung eventuell zeigen?

Mit freundlichen Grüßen

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Hi,

ich hab in den partiellen Ableitungen von f für x und y 1 eingesetzt und das Tupel von den beiden Ergebnissen mit v multipliziert.

mfg

Answer 1

...aber ich weiß nicht wie ich cos(t) - sin(t) = 0 ausrechnen soll.

$cos(t) - sin(t) = 0$

$sin^{2}(t) +cos^{2}(t) = 1$     $cos^{2}(t)=1-sin^{2}(t)$               $cos(t)=+-\sqrt{1-sin^{2}(t)}$

1.) $\sqrt{1-sin^{2}(t)}- sin(t) = 0$

$\sqrt{1-sin^{2}(t)} = sin(t)|^{2}$

$1-sin^{2}(t) = sin^{2}(t)$

 $sin^{2}(t)=\frac{1}{2}$

   $sin(t)=+-\sqrt{\frac{1}{2}}=+-\frac{1}{2}*\sqrt{2}$

2.) $-\sqrt{1-sin^{2}(t)}- sin(t) = 0$

$-\sqrt{1-sin^{2}(t)} = sin(t)|^{2}$

$1-sin^{2}(t) = sin^{2}(t)$

$sin^{2}(t)=\frac{1}{2}$

$sin(t)=+-\sqrt{\frac{1}{2}}=+-\frac{1}{2}*\sqrt{2}$

Comments

Danke, aber wenn ich für t 1/2 *sqrt(2) einsetze ist das Ergebnis ein bisschen kleiner als pi/4 wie in der anderen Antwort genannt, also kann die Funktion da ja nicht maximal sein oder?

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Da bin ich leider überfragt!

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Danke, aber wenn ich für t 1/2 *sqrt(2) einsetze ist das Ergebnis ein bisschen kleiner als pi/4 

Kommentiert 13 Dez 2022 von Holishet

Da bin ich leider überfragt!

Kommentiert vor 14 Minuten von Moliets

Dem Manne kann geholfen werden. Mit  $sin(t)=+-\sqrt{\frac{1}{2}}=+-\frac{1}{2}*\sqrt{2}$ wird mitnichten verlangt, dass man für t  den Wert 1/2 *sqrt(2) einsetzt.

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Danke dir für deine Hilfe!

Answer 2

Hallo eigentlich weiss man dass cos(t)=sin(t) für t=π/4 ist sonst einfach sin(t)/cos(t)=tan(t)=1

i) Hab ich nicht überprüft-

Gruß lul