Benutzen Sie die Bernoullische Ungleichung um die Abschätzung zu beweisen .

Question

Benutzen Sie die Bernoullische Ungleichung (1+x)^k  ≥1+kx,     x≥−1, k∈ ℕ, um die Abschätzung  a_{n+1 /} a_{n >= 1}   n∈ ℕ  zu beweisen .

Problem/Ansatz:

Ich weiß bisher nur dass ich folgendes zeigen soll:        ( (1+ 1/n+1 )^n+1) / (1+1/n)^n  >= 1

für jede Hilfe bin ich sehr dankbar !

Answer 1

$$\frac{\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac1n\right)^{n}}=\frac{n+2}{n+1}\frac{\left(n(n+2)\right)^n}{\left((n+1)^2\right)^n} $$

$$=\frac{n+2}{n+1}\left(\frac{(n+1)^2-1}{(n+1)^2}\right)^n = \frac{n+2}{n+1}\left(1 -\frac{1}{(n+1)^2}\right)^n$$

$$\stackrel{Bernoulli}{\geq}\frac{n+2}{n+1}\left(1-\frac{n}{(n+1)^2}\right)$$

Für die weitere Rechnung ist es einfacher, \(m=n+1\) zu setzen. So muss man nicht so viel ausmultiplizieren. Also

$$\stackrel{m=n+1}{=}\frac{m+1}{m}\left(\frac{m^2-m+1}{m^2}\right) $$

$$=\frac{m^3-m^2+m+m^2-m+1}{m^3} $$

$$= \frac{m^3+1}{m^3}>1$$

Fertig.

Comments

Hallo danke für die Hilfe.

können sie genauer erklären was sie gemacht haben und warum ?

Ich verstehe nicht wie  sie Bernoullische Ungleichung benutzen .

---

Schau dir mal die Bernoulli-Ungleichung an und dann nochmal die Stelle in meiner Rechnung, wo ich Bernoulli über das Relationszeichen geschrieben habe.