Beweisen einer Basis von R hoch zwei und drei

Question

Text erkannt:

a) Zeigen Sie, dass
\( v_{1}=\left(\begin{array}{l} 5 \\ 8 \end{array}\right), \quad v_{2}=\left(\begin{array}{l} 3 \\ 5 \end{array}\right) \)
eine Basis von \( \mathbb{R}^{2} \) und
\( w_{1}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), \quad w_{2}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right), \quad w_{3}=\left(\begin{array}{c} -4 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right) \)
eine Basis von \( \mathbb{R}^{3} \) ist.
b) Es sei \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) die lineare Abbildung, die bezüglich der Basen \( \left(v_{1}, v_{2}\right) \) und \( \left(w_{1}, w_{2}, w_{3}\right) \) durch die Matrix
\( \left(\begin{array}{cc} -3 & 2 \\ 1 & 1 \\ 0 & -4 \end{array}\right) \)
gegeben ist. Bestimmen Sie die Matrix von \( f \) bezüglich der Standardbasen.
c) Es sei \( g: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) die lineare Abbildung, die bezüglich der Standardbasen durch die Matrix
\( \left(\begin{array}{ccc} 1 & 4 & -2 \\ 0 & 2 & 3 \end{array}\right) \)
gegeben ist. Bestimmen Sie die Matrix von \( g \) bezüglich der Basen \( \left(w_{1}, w_{2}, w_{3}\right) \) und \( \left(v_{1}, v_{2}\right) \).

Problem/Ansatz:

Ich stehe komplett auf dem schlauch

Comments

a) Zeige, dass die Vektoren ein Erzeugendensystem bilden und linear unabhängig sind, wenn beide Sachen erfüllt sind, bilden die Vektoren eine Basis.

Answer 1

a) Zeige dass die Gleichung

      \(\alpha v_1 + \beta v_2 = \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\)

für alle \(a,b\in \mathbb{R}\) eindeutig lösbar ist.

Zeige entsprechendes für die Basis von \(\mathbb{R}^3\).

b) Berechne

      \( u_i \coloneqq \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 1 & 1 \\ 0 & -4 \end{pmatrix} \cdot v_i\)

für alle \(i\in \{1,2\}\). Das sind die Bilder der Basisvektoren \(v_1, v_2\) ausgedrückt in Koordinaten bezüglich der Basis \(\left(w_1, w_2, w_3\right)\).

Um die \(u_i\) bezüglich der Standardbasis anzugeben, berechne

        \(b_i \coloneqq \begin{pmatrix}w_1&w_2&w_3\end{pmatrix}\cdot u_i\).

für alle \(i\in \{1,2\}\).

Die gesuchte Matrix ist \(\begin{pmatrix}b_1&b_2\end{pmatrix}\).

c) Entsprechend zu b).