Question

Wie kann ich beweisen, dass folgendes gilt?

x∈ℝ mit |x|<1

$$|e^{x}-1|\leq \sum \limits_{k=0}^{\infty}|x|^k=\frac{|x|}{1-|x|}$$

Answer 1

Der Index bei der Summe muss bei \(k=1\) starten. Es gilt

$$e^x = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}$$

Also

$$|e^x-1| = \left|\sum_{\color{blue}{k=1}}^{\infty}\frac{x^k}{k!}\right|\leq \sum_{\color{blue}{k=1}}^{\infty}\left|\frac{x^k}{k!}\right|\leq \sum_{k=1}^{\infty}|x|^k \stackrel{|x|<1}{=}\frac{|x|}{1-|x|}$$