Beweis von geordnete Basen von einem Vektorraum

Question

ich brauch drigend da hilfe, weil heute ist die Abgabe

wie zeige, ich dass 2 Matrizen, Basen bzw geordnete Basen von V sind, V ist aber nicht definiert irgendwie wie in einer Funktion, dass z.B. y=x2+-3z oder so etwas, sondern es gibt ein V und von dem wissen wir nichts, außer, dass es 2. Dimisional ist und der Körper ist rational und es gibt die "B", was aus den standard Basis besteht B= e1 und e2

Die 2 Matrizen sind

\( \underline{\mathrm{C}}:=\left(\left(\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0 \\ -1\end{array}\right)\right) \) und \( \underline{\mathrm{D}}:=\left(\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}3 \\ 2\end{array}\right)\right) \).

und ich hab kein Plan wie ich beweise, also zeige, dass es geordnete Basen von V sind, ich hab alle Vorlesungen geschaut und wenn ich google, finde ich absolut gar nicht.

Answer 1

Aloha :)

Du weißt, dass \(V=\mathbb R^2\) ist. Du musst also eigentlich nur zeigen, dass die beiden Vektoren in jeder Basis eine Fläche aufspannen. Das heißt, die beiden Vektoren dürfen nicht parallel zueinander sein.

Wir prüfen die beiden Vektoren aus \(C\) auf Parallelität:$$\binom{1}{2}\stackrel{?}{=}c\cdot\binom{0}{-1}\implies1=c\cdot 0\;\land\;2=c\cdot(-1)\implies \red{1=0}\;\land\;c=-2$$Wir haben mit \(\red{1=0}\) offensichtlich einen Widerspruch erhalten, sodass es keine solche Konstante \(c\) gibt. Das heißt, die beiden Vektoren liegen nicht parallel zueinander. Sie spannen also eine 2-dimensionale Fläche auf und können damit als Basis für \(V\) dienen.

Wir prüfen die beiden Vektoren aus \(D\) auf Parallelität:$$\binom{1}{1}\stackrel{?}{=}c\cdot\binom{3}{2}\implies1=c\cdot 3\;\land\;1=c\cdot2\implies \red{c=\frac13\;\land\;c=\frac12}$$Wir haben wieder einen Widerspruch erhalten, denn \(c\) kann nicht 2 Werte verschiedene Werte zugleich annehmen. Das heißt, auch die beiden Vektoren aus \(D\) liegen nicht parallel zueinander. Sie spannen also eine 2-dimensionale Fläche auf und können damit als Basis für \(V\) dienen.