Zeigen Sie, dass durch g(x) = x * f(x) eine im Nullpunkt stetige Funktion definiert wird

Question

Aufgabe:

Es sei D ⊆ R. Eine Funktion f : D → R heißt beschränkt, wenn es ein M > 0 gibt mit
|f(x)| ≤ M für alle x ∈ D.
Es sei nun f : R → R beschränkt. Zeigen Sie, dass durch

$g : ℝ→ ℝ, g(x) := x · f(x)$

eine im Nullpunkt stetige Funktion definiert wird

Problem/Ansatz:
Bin irgendwie verwirrt von der Aufgabe
Bin über eine Lösung dankbar :)

Comments

Welches Kriterium für Stetigkeit kennst Du denn / willst Du anwenden?

Answer 1

Du musst nur zeigen, dass $\lim_{x\to 0}g(x) = g(0) = 0$.

Sei dazu $(x_n)$ eine beliebige Nullfoge mit $x_n \neq 0$. So gilt $$|g(x_n)| = |x_n \cdot f(x_n)|\leq |x_n|M\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}0$$Also $\lim_{x\to 0}g(x) = 0 = g(0)$.

Comments

Danke,
könnten Sie mir eventuell noch erklären, warum wir genau eine Nullfoge mit $x_n \neq 0$ nehmen?

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Beim Grenzwert einer Funktion an einer Stelle ist nur von Interesse, wie sich die Funktion um die Stelle herum verhält, unabhängig davon, ob die Funktion an der Stelle definiert ist oder nicht.

Stell dir mal vor, wir würden die Funktion g an der Stelle x= 0 einfach mal auf 5 setzen. Wenn wir jetzt Folgen zuließen, die auch die Stelle x=0 "betreten" dürfen, würden wir keinen sinnvollen Grenzwert mehr erhalten. Je nach Folge $x_n$ könnte dann der Grenzwert von $f(x_n)$ 0 oder 5 sein oder gar keiner, weil eine Teilfolge z. Bsp. gegen 5 und die andere gegen 0 konvergiert.

Answer 2

Sei $\varepsilon > 0$.

Sei $M > 0$ mit $|f(x)| \leq M$ für alle $x\in \mathbb{R}$.

Sei $\delta = \frac{\varepsilon}{M}$.

Sei $x\in (-\delta, \delta)$.

Begründe warum $|g(x)| < \varepsilon$ ist.