Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (in Prozent), dass die Rendite des Portfolios größer als 2.16 ist?

Question

Aufgabe:

Die unabhängigen Zufallsvariablen Ri  mit 1,2,3,4,5 seien Renditen von 5 verschiedenen Wertpapieren. Die Renditen Ri sind normalverteilt mit folgendem Erwartungswert und folgender Varianz:

Ri~{N 2.8; 8.4} i=1,2

   {N3.7; 3.7}   i=3,4,5

Die Rendite eines Portfolios (Rp) setzt sich aus den obigen Wertpapieren mit folgender Gewichtung zusammen: Rp=0.62R1+0.38R3.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (in Prozent), dass die Rendite des Portfolios größer als 2.16 ist? (Eingabe bitte auf zwei Nachkommastellen.)

Problem/Ansatz:

Ich komme leider auf keinen grünen Zweig, vielen Dank für die Hilfe!!!

Comments

Die Wiedergabe eines Teils der Aufgabe ist missraten. Wahrscheinlich steht im Original

\( R_{i} \sim\left\{\begin{array}{ll} \mathcal{N}(2,8 \; ; \; 8,4) \quad , & i = 1, \; 2 \\ \mathcal{N}(3,7 \; ; \; 3,7) \quad , & i = 3, \; 4, \; 5 \end{array}\right. \)

Answer 1

Die zufallsverteilte Rendite X des Portfolios hat den Erwartungswert

\(\displaystyle \text{E}[X]  = 0,62 \cdot 2,8 + 0,38 \cdot 3,7 = 3,142 \)

und die Varianz

\(\displaystyle \text{V}[X]  = 0,62^2 \cdot 8,4 + 0,38^2 \cdot 3,7 = 3,76324 \)

bzw. eine Standardabweichung von

\(\displaystyle \sigma = \sqrt{3,76324} \approx 1,94 \)

Eine Rendite von 2,16 liegt etwa 0,51 Standardabweichungen unter dem Erwartungswert. Ein Blick in die Standardnormalverteilungstabelle ergibt dazu eine Wahrscheinlichkeit von etwa 69,497 %, dass die Rendite größer ist; mein Taschenrechner ist genauer als die Tabelle und zeigt etwa 69,364 % an.

Comments

Output von einer Tabellenkalkulation:

Man kann sich dem Ergebnis auch mittels Simulation annähern. Bei den praktisch relevanten 69 % ist man rasch, aber einen exakteren Wert (es werden in der Aufgabe zwei Nachkommastellen verlangt) erreicht man auch bei instensiver Elektronenschubserei nur langsam. Die Tabelle zeigt die gesuchte Wahrscheinlichkeit bei einem simulierten Portefeuille von 100 bis 100 Mio. Wertpapieren.