f(x,y,z)= xy^z mit der logarithmischen Ableitung ableiten

Question

ich möchte diese Funktion nach z ableiten:
f(x,y,z)= xy^z

ich habe gehört, dass es verschiedene Wege gibt, sowas abzuleiten (also wenn die Variable im Exponenten steht), ich würde es aber zum Übungszwecken gerne mit der logarithmischen Ableitung machen
die Regel lautet soweit ich weiß: f(x) * (ln (f(x)) '

ich hätte also xy^z * (ln (xy^z) ) '
ich würde die z nach unten bringen und käme auf xy^z * (z ln xy) '

jetzt müsste ich den ln-Teil noch ableiten

ich würde sagen, dass da nur noch ln (xy) bleibt

die Lösung wäre insgesamt also x*y^z * ln(x*y)

die angegebene Lösung ist aber x*y^z * ln(y)

ich würde gerne wissen, was ich falsch mache

Danke!

Answer 1

Hallo,

du meinst vermutlich, dass man zunächst auf beiden Seiten logarithmiert:$$f(x,y,z)=xy^z \Rightarrow \ln(f(x,y,z))=\ln(x)+z\ln(y)$$ und dann \(\frac{\partial }{\partial z}\) auf beide Seiten anwendet:$$\frac{\partial }{\partial z}\ln(f(x,y,z))=\frac{\partial }{\partial z}(\ln(x)+z\ln(y)) \\ \frac{\frac{\partial}{\partial z}f(x,y,z)}{f(x,y,z)}=\ln(y) \Longrightarrow \boxed{ \frac{\partial}{\partial z}f(x,y,z)=\ln(y)f(x,y,z)=\ln(y)xy^z}$$