Zeigen sie, dass V endlich ist mit

Question

Aufgabe:

Sei K ein endlicher Körper mit q Elementen und V ein endlich erzeugter Vektorraum. Zeigen sie, dass V endlich ist mit

#V = q^dimV

Problem/Ansatz:

Ich komme nicht drauf wie die Dimension von V die Potenz der Elemente sein kann. Könnte mir vielleicht jemand weiter helfen.

Answer 1

V ein endlich erzeugter Vektorraum.

==>  V besitzt eine (geordnete) Basis mit n=dim V Elementen.

Jedes Element von V lässt sich eindeutig als Linearkombination der Basis darstellen.

==>  Jedes Element wird eindeutig durch das n-Tupel der bei der Linearkombination
         benutzten Koeffizienten identifiziert.

Von diesen n-Tupeln gibt  q^n Stück, also V auch q^n Elemente. q.e.d.