Zeigen Sie, dass die Abbildung ψ:V/U→W,v+U↦φ(v), eine wohldefinierte lineare Abbildung ist

Question

Sei K ein Körper, V,W K-Vektorräume, φ:V→W eine lineare Abbildung und U≤V ein Unterraum mit U≤Kern(φ).

(a)
Zeigen Sie, dass die Abbildung
ψ:V/U→W,v+U↦φ(v),
eine wohldefinierte lineare Abbildung ist. (3 Punkte)

Hier habe ich nicht genau verstanden, wie es klar ist, dass v Element von V ist und

was v+U↦φ(v) bedeutet.
Kann mir jemand erstens diese Frage ganz genau beweisen?

Die folgenden zwei Fragen kann ich auch nicht lösen und bitte um Ihre Hilfe:

(b)
Beweisen Sie, dass Kern(ψ)≅Kern(φ)/U ist. (3 Punkte)

(c)
Seien zum Beispiel V=K2×2 und U={(acbd)∣a,b,c,d∈K,a=−d}≤V.

Geben Sie eine Menge von Vertretern für die Äquivalenzklassen in V/U an. Geben Sie ein möglichst kleines Erzeugendensystem von V/U an.

Answer 1

wie es klar ist, dass v Element von V ist

Definitionsmenge von ψ ist V/U.

Jedes Element von V/U hat die Form v+U, wobei v∈V ist.

Also ist klar, das v Element von V ist.

was v+U↦φ(v) bedeutet.

Das Element v+U aus V/U wird abgebildet auf φ(v).

Beweisen Sie, dass Kern(ψ)≅Kern(φ)/U ist.

Ein Isomorphismus ist

        χ: Kern(ψ) → Kern(φ)/U, v+U ↦ v+U.

Comments

@oswald vielen Dank für Ihre Antwort!
Wie kann ich beweisen, dass ψ:V/U→W,v+U↦φ(v),
eine wohldefinierte lineare Abbildung ist ?

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Zunächt ein mal muss man herausfinden, was gegen die Wohldefiniertheit sprechen könnte.

Sei v₁ ∈ V. Dann ist ψ(v₁ + U) = φ(v₁).

Sei v₂ ∈ V mit v₂ + U = v₁ + U. Dann ist einerseits ψ(v₂ + U) = φ(v₂) und andererseits ψ(v₂ + U) = ψ(v₁ + U) = φ(v₁).

Ist nun φ(v₂) ≠ φ(v₁), dann ist die Abbildung nicht wohldefiniert. Zeige also, dass φ(v₂) = φ(v₁) ist.

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φ(v2) = φ(v1)
Können wir es so zeigen:

v-v1  ≤ U ≤Kern(φ) (wenn ja, wie genau?)

und

Das Element v+U aus V/U wird abgebildet auf φ(v).

wie kann ein Element von "V ohne U" aus v+U abgebildet sein? Dann ist es nicht V/U?

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Korrigierung*:

v1-v2  ≤ U ≤Kern(φ)

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v1-v2  ≤ U

Ich weiß nicht, was das bedeuten soll.

wie kann ein Element von "V ohne U"

V/U ist nicht V ohne U.

V\U ist V ohne U.

V/U ist {R ⊆ V | ∃v ∈ V: R = v + U}

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V/U ist nicht V ohne U.

V\U ist V ohne U.

V/U ist {R ⊆ V | ∃v ∈ V: R = v + U}

Vielen Dank für diese Erklärung!

Meine Idee war also:

zu zeigen: v1 + U = v2 + U

Existiere u aus U mit v1 = v2 + u.

also

v1 - v2 = u ∈ U  d.h.

v1 + U = v2 + U.

Deshalb φ(v2) = φ(v1).

Ist so ein Beweis genug ? In meinem Übungsblatt ist diese Frage 3 Punkte, deshalb fühle ich mich als ob ich mehr dazu schreiben soll.

Und nochmals, danke schön für Ihre Hilfe.

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zu zeigen: v₁ + U = v₂ + U

Nein. Zu zeigen ist:

        wenn v₁ + U = v₂ + U ist, dann ist φ(v₂) = φ(v₁).

Seien dazu v₁, v₂ ∈ V mit v₁ + U = v₂ + U. Begründe warum φ(v₁-v₂) = 0 ist und wende die Regeln für lineare Abbildungen an.

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ich weiß, dass ich zu viele Fragen gestellt habe. Aber

Begründe warum φ(v1-v2) = 0 ist

habe ich das schon in dieser Zeile:

v1 - v2 = u ∈ U

nicht begründet, da U ≤ Kern(φ) ist?
Und welche Regeln für lineare Abbildungen meinen Sie genau?

Vielen Dank!!

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Meine v₁ und v₂ kommen aus

        "Seien dazu v₁, v₂ ∈ V mit v₁ + U = v₂ + U."

Deine kommen aus

        "Existiere u aus U mit v₁ = v₂ + u."

Wenn du sicher bist, dass das gleichwertig ist, dann hast du φ(v₁-v₂) = 0 bereits begründet.

Und welche Regeln für lineare Abbildungen meinen Sie genau?

Die, die in der Definition lineare Abbildung stehen.

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Vielen Dank für Ihre Erklärung! Das war wirklich hilfreich.