Aufgabe zur stetigen Zufallsgröße

Question

Aufgabe:

Gegeben sei eine Funktion

f_x(x) = ax² * (1-x)          für x ∈ [0,1]
        = 0                        für alles außerhalb 0 und 1

a) Bestimmen Sie a so, dass fx die Dichtefunktion einer stetigen Zufallsgröße X ist.

b) Bestimmen Sie für den unter a) bestimmten Parameter die Verteilungsfunktion

c) Bestimmen Sie den Erwartungswert E(X) und die Varianz D²(X)

d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten P(X<0.5) und P(X<E(X))

Problem/Ansatz:

a) Welche Bedingungen muss fx(x) erfüllen? Das Integral von fx(x) mit den Grenzen 0 bis 1 muss = 1 sein, oder? Ich habe für a= 12 raus. Fehlt noch etwas?

b) Ist die Verteilungsfunktion Fx(t) dann das unbestimmte Integral von fx(x) mit a=12?
Die Verteilungsfunktion Fx(t) hat drei Teile, die wir angeben müssen. Ich hätte gesagt für t<0 ist die Funktion 0 und für t>0 auch. Dann muss man nur noch die Funktion im Intervall von 0 bis 1 angeben. Stimmt dann der Punkt mit dem unbestimmten Integral? Muss ich noch etwas einsetzen?

c)+d) hier weiß ich gar nicht weiter.

Vielleicht kann mir jemand helfen? Liebe Grüße

Answer 1

(a) hast du richtig gerechnet:

$$\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)\; dx = a\int_{0}^{1}x^2(1-x)\; dx\stackrel{!}{=}1\Rightarrow a=12$$

(b)

$$F_X(x) = \int_{-\infty}^{x}f_X(t)\; dx$$

X "lebt" nur auf [0,1]. Daher für $x\in [0,1]$:

$$F_X(x) = 12\int_0^x t^2(1-t)\; dt = (4-3x)x^3$$ Also

$$F_X(x) = = \left\{ \begin{array}{rl} 0 & x<0 \\ (4-3x)x^3 & 0\leq x\leq 1 \\ 1 & x> 1\end{array}\right.$$

(c)

$E(X) =\int_{-\infty}^{\infty}xf_X(x)\; dx = 12\int_{0}^{1}x^3(1-x)\; dx = \frac 35$

$D^2(X) = E(X^2) - E(X)^2$

$E(X^2) =\int_{-\infty}^{\infty}x^2f_X(x)\; dx = 12\int_{0}^{1}x^4(1-x)\; dx = \frac 25$

$\Rightarrow D^2(X) = \frac 1{25}$

(d)

$P(X<0.5) = F_X(0.5) = \frac 5{16}$

$P(X<E(X)) = P(X<0.6) = F_X(0.6) = \frac {297}{625} = 0.4752$

Comments

Vielen, vielen Dank :D

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@Anna-Lina

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