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Aufgabe:

Um 12 Uhr erhält Ricarda den Auftrag, die Bakterien durch Wärmebehandlung abzutöten.
Dabei geht sie jedoch nicht sorgfältig genug vor, so dass 2% der Salmonellen überleben.
Wie lange wird es dauern, bis sich diese wieder auf den Bestand von 11 Uhr vermehrt
haben ?


 \(  \)\(\begin{array}{l} 12 \text { Uhr } \Rightarrow 4 \cdot(\sqrt[\infty]{2})^{240} \Rightarrow16384 \\ 4 \cdot(\sqrt[20]{2})^{240} \cdot 0,02 \cdot(\sqrt[20]{2})^{x} \Rightarrow 4 \cdot(\sqrt[20]{20})^{180} \\ \Rightarrow 2^{12} \cdot 0,02 \cdot(\sqrt[20]{2})^{x}=2^{9} \Rightarrow(\sqrt[20]{2})^{x}=6,25 \\ \Rightarrow x \approx 52,88 \text { minuten } \end{array} \)


Problem/Ansatz:

Moin!

Es hapert ein wenig am Rechenweg, diesen Nachzuvollziehen.

Wieso haben wir in der ersten Zeile (\( \sqrt[20]{2} \))t eingefügt, und wie sind daraus dann die weiteren Schritte entstanden. Woher kommt die 212 und die 29.

Es wäre sehr nett, wenn mir jemand dabei helfen könnte.


Vielen Dank im Voraus!

RyzQr

Avatar von

In der Aufgabenstellung fehlen Angaben, aus der die Wachstumsrate der Bakterienpopulation ersichtlich ist.

Oh, diese habe ich vergessen.

Hier der Nachtrag:

alle 20 min verdoppelt sich der Bestand

@oswald

Bitte verwende den Pfeil \(\Rightarrow\) nicht. Er ist dazu gedacht, Aussagen miteinander zu verknüpfen. \(12 \text { Uhr }\) und \(4 \cdot(\sqrt[\infty]{2})^{240}\) sind keine Aussagen. Also gehört dazwischen kein \(\Rightarrow\).

Okay, danke für die Korrektur!

Könnten Sie mir vielleicht bei der Aufgabe weiterhelfen?

Verstehe den Rechenweg nämlich gar nicht. danke

1 Antwort

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Beste Antwort

Anfangsbestand \(4\) um 8:00 Uhr (\(x=0\)).

Verdopplung passiert alle 20 Minuten \(\Rightarrow\) Wachstumsfaktor ist \(\sqrt[20]{2}\).

Das ergibt die Funktionsgleichung

        \(f(x) = 4\cdot \left(\sqrt[20]{2}\right)^x\)

für den Bestand \(f(x)\) an Bakterien nach \(x\) Minuten.

Bestand um 11:00 Uhr (\(x=180\)) ist dann

(1)      \(f(180) = 4\cdot \left(\sqrt[20]{2}\right)^{180}\).

Bestand um 12:00 Uhr (\(x=240\)) ist

        \(f(240) = 4\cdot \left(\sqrt[20]{2}\right)^{240}\).

Nach der Wärmebehandlung ist der Bestand

        \(f(240)\cdot 0{,}02 = 4\cdot \left(\sqrt[20]{2}\right)^{240}\cdot 0{,}02\).

Dieser Bestand wird als neuer Anfangsbestand verwendet und \(x=0\) wird auf 12:00 Uhr gesetzt. Neue Funktionsgleichung ist dann

(2)      \(g(x) = \underbrace{4\cdot \left(\sqrt[20]{2}\right)^{240}\cdot 0{,}02}_\text{neuer Anfangsbestand}\cdot \left(\sqrt[20]{2}\right)^x\)

Laut Aufgabenstellung soll \(g(x) = f(180)\) sein. Deshalb gleichsetzen von (1) und (2). Dann bekommt man

        \(4\cdot \left(\sqrt[20]{2}\right)^{240}\cdot 0{,}02\cdot \left(\sqrt[20]{2}\right)^x = 4\cdot \left(\sqrt[20]{2}\right)^{180}\).

Diese Gleichung muss gelöst werden.

Avatar von 105 k 🚀

Danke.

Ich denke ich hatte den Denkfehler, woher die (\( \sqrt[20]{2} \))x kommt.

Jedoch wollen wir ja die Zeit ja in Erfahrung bringen, die es benötigt um auf den Bestand von 11 Uhr zu kommen, weshalb wir dies dann auflösen nach dem Exponenten.

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