Untersuchen Sie, in welchen Punkten die folgende Funktion differenzierbar ist und berechnen Sie die Ableitung

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie, in welchen Punkten die folgende Funktion differenzierbar ist, und berechnen Sie die Ableitung:

$f(x) = x^{2}sin \frac{1}{x},$ falls x ≠ 0; 0, falls x = 0;

Problem/Ansatz:

Komme nicht ganz weiter.
wäre über ein Tipp oder die Lösung mit/ohne erklärung sehr dankbar :)

Answer 1

Aloha :)

Für $x\ne0$ ist die Differenzierbarkeit klar, denn mit Produkt- und Kettenregel finden wir:$$f(x)=x^2\cdot\sin\frac1x\quad;\quad x\ne0$$$$f'(x)=2x\cdot\sin\frac1x+x^2\cdot\cos\frac1x\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right)=2x\cdot\sin\frac1x-\cos\frac1x\quad;\quad x\ne0$$

Zur Untersuchung der Differenzierbarkeit an der Stelle $x=0$ betrachten wir den Differentialquotienten:$$f'(0)=\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to0}\frac{x^2\cdot\sin\frac1x-0}{x-0}=\lim\limits_{x\to0}\left(x\cdot\sin\frac1x\right)=0$$Der Grenzwert $0$ folgt aus der Betrachtung:$$\text{Für }x>0\colon\;-1\le\sin\frac1x\le1\implies -x\le x\cdot\sin\frac1x\le x\implies\lim\limits_{x\searrow0}\left(x\cdot\sin\frac1x\right)=0$$$$\text{Für }x<0\colon\;-1\le\sin\frac1x\le1\implies -x\ge x\cdot\sin\frac1x\ge x\implies\lim\limits_{x\nearrow0}\left(x\cdot\sin\frac1x\right)=0$$Daher ist die Funktion auch bei $x=0$ differenzierbar und es gilt $f'(0)=0$.

Comments

Vielen Dank für deine Hilfe!
Aber ich habe noch eine Frage: Am Ende bleibt das '≤' unverändert.
Soll das so sein?

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Ich weiß leider nicht, welches $\le$ du genau meinst. Ich habe aber nochmal über meine Rechnung geschaut und keinen Fehler gesehen.

Für $x>0$ bleiben die Relationszeichen bei der Multiplikation erhalten:$$-1\le\sin\frac1x\le1\implies-1\cdot x\le x\cdot \sin\frac1x\le1\cdot x$$

Für $x<0$ kehren sich die Relationszeichen bei der Multiplikation um:$$-1\le\sin\frac1x\le1\implies-1\cdot x\ge x\cdot \sin\frac1x\ge1\cdot x$$

Answer 2

Für $x_0\neq 0$ hast du es mit der Verkettung und dem Produkt differenzierbarer Funktionen zu tun. Somit ist die Funktion dort differenzierbar.

Für $x_0=0$ musst du schauen, ob der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert:

$\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \frac{x^2\sin \frac 1x}{x} = x\sin x \stackrel{x\to 0}{\longrightarrow}0$

Daher ist f auch an der Stelle $x_0=0$ differenzierbar mit der Ableitung gleich Null.