Definition: Die Rotation des Vektorfeldes \( \mathcal{V} \) ist das durch die folgende Bedingung bestimmte Vektorfeld:
dωv^1 =: rot(V)⌋dℝn = *ω^1rot(v)
(⌋= inneres Produkt)
Aus dem Differential \( d \omega_{\mathcal{V}}^{1} \)
\( d \omega_{\mathcal{\nu}}^{1}=\left[\frac{\partial V^{2}}{\partial x^{1}}-\frac{\partial V^{1}}{\partial x^{2}}\right] d x^{1} \wedge d x^{2}+\left[\frac{\partial V^{3}}{\partial x^{1}}-\frac{\partial V^{1}}{\partial x^{3}}\right] d x^{1} \wedge d x^{3}+\left[\frac{\partial V^{3}}{\partial x^{2}}-\frac{\partial V^{2}}{\partial x^{3}}\right] d x^{2} \wedge d x^{3} \)
ergibt sich unmittelbar die Formel
\( \operatorname{rot}(\mathcal{V})=\left[\frac{\partial V^{3}}{\partial x^{2}}-\frac{\partial V^{2}}{\partial x^{3}}\right] \frac{\partial}{\partial x^{1}}+\left[\frac{\partial V^{1}}{\partial x^{3}}-\frac{\partial V^{3}}{\partial x^{1}}\right] \frac{\partial}{\partial x^{2}}+\left[\frac{\partial V^{2}}{\partial x^{1}}-\frac{\partial V^{1}}{\partial x^{2}}\right] \frac{\partial}{\partial x^{3}} \)
Ich verstehe hier nicht ganz wie sich ,,unmittelbar" die angegebene Formel herleiten lässt. Versteht das evtl. Jemand?
