Berechne den Durchmesser des Stamms in einer Höhe von 15 m. Rotation um x-Achse

Question

Aufgabe:

Um den Verkaufswert eines Baumstamms zu bestimmen, wird dessen Durchmesser in einer Höhe von 1,3 m verwendet. Dieser Durchmesser wird als Brusthöhendurchmesser (BHD) bezeichnet.

a) Ein Fichtenstamm hat einen BHD von 40 cm. Sein Volumen vom Boden bis zu einer Höhe von 1,3 m beträgt 0,17 m³. Es soll davon ausgegangen werden, dass der Durchmesser des Stamms mit zunehmender Höhe linear abnimmt. Berechne den Durchmesser des Stamms in einer Höhe von 15 m.

Problem/Ansatz:

Ich weiß, wie ich das Volumen eines Rotationskörper berechne bzw. in diesem Fall gleich 0,17 setzen muss. Ich verstehe aber nicht, wie man zu der linearen und zu integrierenden Funktion s(x) = m · (x − 1,3) + 0,2 kommt.

Answer 1

Um den Verkaufswert eines Baumstamms zu bestimmen, wird dessen Durchmesser in einer Höhe von 1,3 m verwendet. Dieser Durchmesser wird als Brusthöhendurchmesser (BHD) bezeichnet.

a) Ein Fichtenstamm hat einen BHD von 40 cm. Sein Volumen vom Boden bis zu einer Höhe von 1,3 m beträgt 0,17 m3. Es soll davon ausgegangen werden, dass der Durchmesser des Stamms mit zunehmender Höhe linear abnimmt. Berechne den Durchmesser des Stamms in einer Höhe von 15 m.

r = 0.2 m

V = 1/3·pi·(R^2 + R·r + r^2)·h
V = 1/3·pi·(R^2 + R·0.2 + 0.2^2)·1.3 = 0.17 → R = 0.2080 m

r(x) = 0.208 - 0.008/1.3·x
s(x) ist die gleiche Funktion, nur in der Punkt-Steigungs-Form notiert.

r(15) = 0.208 - 0.008/1.3·15 = 188/1625 = 0.1157

d = 2·188/1625 = 0.2314 m

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Vielen Dank. Habe ich verstanden.

Answer 2

Volumen eines Kegelstumpfes:

\(V= \frac{1}{3}hπ(r_1^2+r_1r_2+r_2^2 )\)

Maße in Meter:

Höhe: \(1,3\)   oberer Radius : \( 0,20\)    Volumen: \(0,17\) \( m^{3} \)   Gesucht unterer Radius \(r_1\)

\(0,17= \frac{1}{3}\cdot 1,3 π (r_1^2+0,20 \cdot r_1+0,20^2 )\)

Mit Wolfram:  \(r_1≈0,21m\)

Schneide nun die "grüne Gerade" in der Höhe von y=15 m

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Vielen Dank. Ist mir klar geworden.