Aufgabe:
Für \( \alpha \in \mathbb{R} \) betrachten wir die Matrizen \( S_{\alpha}=\left(\begin{array}{cc}\cos (\alpha) & \sin (\alpha) \\ \sin (\alpha) & -\cos (\alpha)\end{array}\right) \).
a) Zeigen Sie, dass \( \left(\begin{array}{c}\cos \left(\frac{\alpha}{2}\right) \\ \sin \left(\frac{\alpha}{2}\right)\end{array}\right) \) ein Eigenvektor von zum Eigenwert 1 ist und \( \left(\begin{array}{c}v_{\alpha} \\ \cos \left(\frac{\alpha}{2}\right)\end{array}\right) \) ein Eigenvektor zum Eigenwert \( -1 \) ist.
b) Geben Sie eine geometrische Beschreibung der Abbildung \( s_{\alpha}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \vec{x} \mapsto S \vec{x} \) an. Fertigen Sie dazu unter anderem eine Skizze für den Fall \( \alpha=\frac{\pi}{2} \) an, die die Eigenvektoren aus a) enthält.
c) Bestimmen Sie die Umkehrabbildung zu \( s_{\alpha} \).
