Wahrscheinlichkeit: 5-maliges Ziehen von 4 roten Kugeln ohne Zurücklegen

Question

In einer Urne befinden sich 7 rote und 5 weiße Kugeln. Es wird jeweils ohne Zurücklegen aus dieser Urne gezogen.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

A: Bei 5-maligem Ziehen werden 4 rote Kugeln gezogen.

B: Bei 4-maligem Ziehen werden 3 weiße Kugeln gezogen.

C: Bei 7-maligem Ziehen werden 3 rote Kugeln und 4 weiße Kugeln gezogen.

$$A: |Ω|=\begin{pmatrix} 12\\5 \end{pmatrix}= \frac{12!}{5!*7!}=792   |A|= \begin{pmatrix} 5\\1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 7\\4 \end{pmatrix}=5*35=175     P(A)=\frac{175}{792}=0,2209$$

Wie kommt man auf die Matrizen bei |A| ?

Gibt es hierzu eine Formel was einzusetzen ist?

Answer 1

Das sind keine Matrizen. Das sind Binomialkoeffizienten.

Der Binomialkoeffizient \(n\choose k\) gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus einer \(n\)-elementigen Menge \(k\) Elemente auszuwählen.

\(12\choose 5\) kommt daher, dass aus den 12 Kugeln 5 ausgewählt werden.

\({5\choose 1} \cdot {7\choose 4}\) kommt daher, dass aus den 5 weißen Kugeln eine ausgewählt wird und aus den 7 roten Kugeln 4 ausgewählt werden.

Erkundige dich auch über die hypergeometrische Verteilung.

Answer 2

Der Binomialkoeffizent berechnet sich wie folgt. Das Ausrufezeichen ist dabei die Fakultät. Der Taschenrechner kann aber meist Binomialkoeffizienten direkt berechnen.

$$ \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} $$

https://studyflix.de/statistik/binomialkoeffizient-einfach-erklaert-4115

In einer Urne befinden sich 7 rote und 5 weiße Kugeln. Es wird jeweils ohne Zurücklegen aus dieser Urne gezogen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

A: Bei 5-maligem Ziehen werden (genau) 4 rote Kugeln gezogen.

P(A) = (7 über 4)·(5 über 1)/(12 über 5) = 175/792 = 0.2210

B: Bei 4-maligem Ziehen werden (genau) 3 weiße Kugeln gezogen.

P(B) = (7 über 1)·(5 über 3)/(12 über 4) = 14/99 = 0.1414

C: Bei 7-maligem Ziehen werden 3 rote Kugeln und 4 weiße Kugeln gezogen.

P(C) = (7 über 3)·(5 über 4)/(12 über 7) =  175/792 = 0.2210