Aufgabe zu Logarithmischen Spirale

Question 1

Problem/Ansatz: Also bei der (i) habe ich als Kurvenlänge 1 raus, bin mir aber nicht sicher ob das stimmt. Bei der (ii) weiß ich leider garnicht wie ich vorgehen soll.

Question 2

Ich benutze mal zur Abkürzung: $x(t)=e^{-t}[c(t),s(t)]$. Dann ist

$$x'(t)=e^{-t}[-c(t)-s(t),-s(t)+c(t)] \\ \|x'(t)\|^2=e^{-2t}(c(t)^2+s(t)^2+2c(t)s(t)+s(t)^2+c(t)^2-2s(t)c(t)=2e^{-2t}$$

Damit erhalte ich als Bogenlänge $\sqrt{2}$?

Nun ist der Blickwinkel zwischen $x'(t)$ und $-x(t)$ zu bestimmen. Das Skalarprodukt ist

$$\langle -x(t),x'(t) \rangle =-e^{-2t}(-c(t)^2-c(t)s(t)-s(t)^2+s(t)c(t))=e^{-2t}$$

Für die Längen gilt: $\|x(t)\|=e^{-t}$ und $\|x'(t)\|=\sqrt{2}e^{-t}$. Also gilt für den Winkel $\cos(\alpha)=1/\sqrt{2}$, also $\alpha=0.25 \pi$.

Mathhilf · Answer 1 · 2023-01-12T10:47:37+0000

Ich benutze mal zur Abkürzung: $x(t)=e^{-t}[c(t),s(t)]$. Dann ist

$$x'(t)=e^{-t}[-c(t)-s(t),-s(t)+c(t)] \\ \|x'(t)\|^2=e^{-2t}(c(t)^2+s(t)^2+2c(t)s(t)+s(t)^2+c(t)^2-2s(t)c(t)=2e^{-2t}$$

Damit erhalte ich als Bogenlänge $\sqrt{2}$?

Nun ist der Blickwinkel zwischen $x'(t)$ und $-x(t)$ zu bestimmen. Das Skalarprodukt ist

$$\langle -x(t),x'(t) \rangle =-e^{-2t}(-c(t)^2-c(t)s(t)-s(t)^2+s(t)c(t))=e^{-2t}$$

Für die Längen gilt: $\|x(t)\|=e^{-t}$ und $\|x'(t)\|=\sqrt{2}e^{-t}$. Also gilt für den Winkel $\cos(\alpha)=1/\sqrt{2}$, also $\alpha=0.25 \pi$.

Aufgabe zu Logarithmischen Spirale

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