Als Symbol für den größten gemeinsamen Teiler von a,b nehme ich \((a,b)\). Also \((a,b) = 1\).
Gleichung umstellen:
\(\Rightarrow ax = -by \Rightarrow a | by \) und \( b| ax\)
\(a | by \stackrel{(a,b)=1}{\Rightarrow} a| y \Rightarrow y= la\)
\(b | ax \stackrel{(a,b)=1}{\Rightarrow} b| x \Rightarrow x= kb\)
Einsetzen in die umgestellte Gleichung
\(\Rightarrow abk = -abl \Rightarrow k = -l\)
\(\Rightarrow x= kb\) und \( y=-ka \).
Falls nun \((a,b) = g > 1\), gilt
\(a= a'g\) mit \(0 < |a'| < |a|\) und \(b= b'g\) mit \(0 < |b'| < |b|\) und
\((a',b') = 1\).
Dieselbe Rechnung wie oben gibt nun die Lösungen
\(x=kb' = k\frac bg\) und \(y=-ka' = -k \frac ag\).
Die Lösungen \(x=kb,\; y=-ka\) bilden also nur eine echte Teilmenge aller Lösungen im Fall \((a,b) = g > 1\).
