Bestimmen von Matritzen mithilfe von Induktion

Question

Aufgabe:

\(\text{Sei } n ∈ \mathbb{N}. \text{ Für eine quadratische Matrix A sei } A^n \text{ wie folgt definiert:} \\ A^n = \left\{ \begin{array}{l}   A & \text{ falls } n = 1 \\   A^{n-1}\cdot A & \text{ falls } n \geq 2 \end{array}\right\} \\ \text{Für } a ∈ \mathbb{R} \text{ seien die Matritzen B, C ∈ } M_2(\mathbb{R}) \text{ gegeben durch} \\ B = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ C = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix} \\ \text{Bestimme jeweils } B^n \text{ und } C^n \text{ für alle n ∈ } \mathbb{N}. \\\text{(Anleitung: Berechne } B^2 , B^3 \text{ bzw. } C^2 , C^3.\)

\(\text{Dann lässt sich jeweils ein Muster erkennen, welches mit Induktion bewiesen werden kann)}\)

Comments

Die ersten Schritte der Anleitung könntest Du doch mal erledigen.

Answer 1

Berechne \(B^2\) , \(B^3\) bzw. \(C^2\) \(C^3\).

Mach das.

ein Muster erkennen, welches mit Induktion bewiesen werden kann

Mach dann das.

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\( \begin{aligned} B^2 &= \left( \begin{array}{c c } 1 &  2a \\ 0 &  1 \end{array} \right)  \text{  } B^3 &= \left( \begin{array}{c c } 1 &  3a \\ 0 &  1 \end{array} \right) \text{  } B^4 &= \left( \begin{array}{c c } 1 &  4a \\ 0 &  1 \end{array} \right)  \\ \\ C^2 &= \left( \begin{array}{c c } a^2 &  2a \\ 0 &  a^2 \end{array} \right) \text{ } C^3 &= \left( \begin{array}{c c } a^3 &  3a^2 \\ 0 &  a^3 \end{array} \right)  \text{ } C^4 &= \left( \begin{array}{c c } a^4 &  4a^3 \\ 0 &  a^4 \end{array} \right) \\ \end{aligned} \)

Die Frage ist wie ich dies mittels Induktion beweisen kann.

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Ganz normale vollständige Induktion.

Behauptung. Für \(B = \left(\begin{smallmatrix}1&a\\0&1\end{smallmatrix}\right)\) und \(n\in \mathbb{N}\) ist

        \(B^n = \text{[Term zur Berechnung von $B^n$]}\)

Beweis.

Induktionsanfang: Sei \(n = 1\). Dann ist

        \(\begin{aligned}&B^n\\ =& B^1\\ =&\ \dots\\ =&\text{[Term zur Berechnung von $B^n$]}\end{aligned}\)

Induktionsvoraussetzung: Sei \(n \in \mathbb{N}\) und

      \(B^n = \text{[Term zur Berechnung von $B^n$]}\).

Induktionsschluss: Es gilt

      \(\begin{aligned}&B^{n+1}\\ =& B^n\cdot B\\ =&\ \text{[Term zur Berechnung von $B^n$]}\cdot B\\ =&\dots\end{aligned}\)

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Wäre wirklich super, wenn du die Aufgabe lösen könntest, habe wirklich keine Ahnung wie es zu beweisen ist.

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Bzw. wie sieht der erste Term zur Berechnung von B^n aus?