Zeigen Sie: f besitzt einen Fixpunkt.

Question

f besitzt einen Fixpunkt Beweis

Aufgabe:

Sei f : R → R eine stetige Funktion und es existiere eine Funktion g : R → R≥0 sodass ∀x ∈ R: |x − f(x)| ≤ g(x) − g(f(x)).
Zeigen Sie: f besitzt einen Fixpunkt.
Hinweis: Zeigen Sie ∀x ∈ R, dass die Folge fn(x) = f ◦ ... ◦ f(x) konvergiert (Cauchy-Folge!) und folgern Sie daraus die Existenz eines Fixpunktes (von f). Untersuchen Sie zunächst das Konvergenzverhalten der Folge g(fn(x)).

Comments

Hab Ihr in Vorlesung oder Übung eine Beispiel besprochen, wo diese Konstruktion mit g hilfreich ist? Wennja, welches?

Answer 1

Es gilt

$$0 \leq |f_n(x)-f_{n+1}(x)|=|f_n(x)-f(f_n(x))| \leq g(f_n(x))-g(f_{n+1}(x))$$

Daher ist die Folge \((g(f_n(x)))\) monoton fallend. Da sie nach u nten durch 0 beschränkt ist, konvergiert sie.

Zur Cauchy-Folge:

$$|f_{n+k}(x)-f_n(x)|=\left|\sum_{i=n}^{n+k-1}f_{i+1}(x)-f_i(x) \right | \leq \sum_{i=1}^{n+k-1}(g(f_i(x))-g(f_{i+1}(x)))\\\quad =g(f_n(x))-g(f_{n+k}(x))$$

Wegen der Kovnergenz von \((g(f_n(x)))\) geht dies gegen 0 frü \( n \to \infty\). Also ist \((f_n(x))\) eine Cauchy-Folge, also konvergent - gegen einen Fixpunkt.