Berechnen Sie alle komplexen Zahlen, die die folgende Gleichung erfüllen

Question

Aufgabe:

Berechnen sie alle Komplexen Zahlen die die folgende Gleichung erfüllen :

\(\displaystyle z^{3} =\frac{125 \cdot i}{\sqrt{2}}  - \frac{125}{\sqrt{2}} \)

Problem/Ansatz:

Bitte mit Lösungsweg und Ergebnis zum nachvollziehen.Danke

Answer 1

Hallo,

schreibe den rechten Term in der Polarform.

\( \dfrac{125 \cdot i}{\sqrt{2}}  - \dfrac{125}{\sqrt{2}}  \\=\dfrac{125}{\sqrt{2}} (-1+i)\\=\dfrac{125}{\sqrt{2}}\cdot\sqrt2 \cdot e^{i\cdot 3\pi/4} \\z^3={125} \cdot e^{i\cdot 3\pi/4} \\ z_1=5 \cdot e^{i\cdot \pi/4}\)

Für die beiden anderen Lösungen musst du ⅔π bzw. 4π/3 zum Winkel addieren.

:-)

Comments

also ist z₂ = 5* e^i*11π/12  und z₃ = 5*e^i*19π/12  oder wie meinst du das?

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Richtig, genau so.

:-)

Answer 2

Wähle Polarform

\(\frac{125 \cdot i}{\sqrt{2}}  - \frac{125}{\sqrt{2}} = 125 \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}i-\frac{\sqrt{2}}{2}  ) = 125 \cdot (\frac{-\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i )\)

\(=125 \cdot ( cos(\frac{3\pi}{4})+sin(\frac{3\pi}{4})i )\)

Also1. Lösung \(z_1 =5 \cdot ( cos(\frac{\pi}{4})+sin(\frac{\pi}{4})i )\) etc.

Comments

Sind die restlichen 2 dann  z₂ = 5* e^i*11π/12 und z₃ = 5*e^i*19π/12  oder ist das falsch?

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Nö, sieht gut aus.