Aufgabe:
Ist der Wert von d sehr viel kleiner als der von ra so gilt näherungsweise V ≈ O • d = 4•pi•ra^2 • d. Begründe diese Näherung.
Problem/Ansatz:
Ich habe keine Idee, wie ich das ganze herleiten soll. Es geht um das Volumen einer Hohlkugel.
Kann mir da bitte jemand helfen?
Hallo,
Hohlkugel → äußere minus innere Kugel
V=4/3 π r³ - 4/3 π (r-d)³
(r-d)³=r³-3r²d +3rd²-d³
Für kleine Werte von d kann +3rd²-d³ vernachlässigt werden.
≈ 4/3 π r³ - 4/3 π (r³-3r²d)
=4/3 π r³ - 4/3 π r³ + 4πr²d
= 4πr²d
:-)
Vielen Dank für die Antwort! Hat mir sehr weitergeholfen! :)
Danke für die Rückmeldung.
Ich habe auch so eine ähnliche Aufgabe. Könntest du mir bitte erläutern, warum +3rd²-d³ vernachlässigt werden kann?
Setz mal d=r/100.
Dann wird
r³-3r²d +3rd²-d³
zu
r³-3r²•0.01r +3r•0.0001r²-0.000001r³
=r³-0.03r³ +0.0003r³-0.000003r³
Die beiden letzten Summanden sind deutlich kleiner als die ersten beiden.
Das gilt aber nur, wenn d sehr viel kleiner als r ist.
Danke schön für diese super ausführliche und schnelle Antwort! Jetzt kann ich meine Aufgabe definitiv gut weiterführen!
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