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Aufgabe:

… Also wir haben eine "Schneekugel" aus Glas gegossen und innen hohl. Die Wanddicke ist 5 mm und die Wand wurde aus 839 cm3 Glas gegossen. Man soll den Außenradius berechnen...


Problem/Ansatz:

… mein problem ist dass ich nicht so recht weiß was ich mit dem Volumen von dieser Hülle anfangen kann. Ich dachte mir halt dass ich erstmal den Innenradius irgendwie berechnen muss. Aber wie mach ich das? vllt kann mir irgendjemand helfen wie ich auf den Innenradius komme.

von

2 Antworten

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Innenradius x  Außenradius x+5

(4pi/3)(x+0.5)^3 - (4pi/3)x^3 = 839  | :  (4pi/3)

   (x+0.5)^3 - x^3 = 200

x^3 + 1,5x^2 + 0,75x + 0,125 -x^3 = 200

1,5x^2 + 0,75x -199,875 = 0   | :1,5

x^2 +0,5x -133,25 = 0

pq-Formel liefert einzige positive Lösung x=11,3

von 196 k 🚀

Statt (x+5) muss es (x+0,5) heißen.

Das ergibt ca. 11,3047cm für den Innenradius.

Danke, das macht auch mehr Sinn. Ich hatte nicht auf die Einheit geachtet.

Hab's korrigiert.

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Aloha :)

Es sei \(R\) der Außenradius der Kugel und \(r\) der Innenradius der Kugel. Wir tun so als wären sowohl die äußere als auch die innere Kugel komplett aus Glas gegossen. Wenn wir dann vom Volumen der äußeren Kugel das Volumen der inneren Kugel subtrahieren, erhalten wir das Volumen, das tatsächlich in der Hülle der Hohlkugel enthalten ist:$$\Delta V=V_{außen}-V_{innen}=\frac{4}{3}\pi R^3-\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi\left(R^3-r^3\right)$$Wir wissen, dass die Wanddicke \(5\,mm\) beträgt, d.h. \(R-r=5\) oder \(r=R-5\). Das setzen wir oben ein:

$$\Delta V=\frac{4}{3}\pi\left(R^3-(R-5)^3\right)=\frac{4}{3}\pi\left(R^3-(R^3-15R^2+75R-125)\right)$$$$\phantom{Delta V}=\frac{4}{3}\pi\left(15R^2-75R+125\right)=\frac{60}{3}\pi\left(R^2-5R+\frac{25}{3}\right)$$Wir wissen, dass \(\Delta V=839\,cm^3=839\,000\,mm^3\) beträgt (Beachte, dass wir bisher die Radien in mm gemessen haben). Daher gilt:

$$\frac{60}{3}\pi\left(R^2-5R+\frac{25}{3}\right)=839\,000$$$$R^2-5R+\frac{25}{3}=839\,000\cdot\frac{3}{60\pi}\approx13\,353,1$$$$R^2-5R-13\,344,8=0$$Die pq-Formel liefert:$$R=\frac{5}{2}+\sqrt{\frac{25}{4}+13\,344,8}\approx118,05\,mm=11,805\,cm$$Die negative Lösung scheidet aus, weil der Radius positiv sein muss.

von 39 k

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