Volumen Hohlkugel- Formel

Question

Bei einer Hohlkugel ist der Innenradius halb so groß wie der Auẞenradius.

Stelle eine allgemeine Formel für die Berechnung des Volumens der Wand dieser Hohlkugel in Abhängigkeit des Außenradius auf. Fasse die Formel soweit wie möglich zusammen.

Ich komme immer auf ein anderes Ergebnis als mein Mathelehrer. Uns wurde nur das Ergebnis genannt. Leider kein Lösungsweg.

Answer 1

das Volumen \(V_K\) einer Kugel mit Radius \(r\) ist: $$V_K = \frac43 \pi r^3$$ Der Radius \(r_i\) des Innenraums der Hohlkugel ist \(r_i=\frac12 r\) und sein Volumen ist $$V_I = \frac43 \pi r_i^3 = \frac43 \pi \left( \frac{r}2\right)^3 = \frac16 \pi r^3$$ Das Volumen \(V_H\) der angegebenen Hohlkugel ist die Differenz $$V_H = V_K - V_I = \frac43 \pi r^3 - \frac16 \pi r^3 = \frac76 \pi r^3$$