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Aufgabe:

Untersuche die Folge auf Konvergenz und berechne gegebenenfalls den Grenzwertak=2k2+(1)k(k2+2)k2\text{Untersuche die Folge auf Konvergenz und berechne gegebenenfalls den Grenzwert}\\ a_k=\frac{2k^2+(-1)^k(k^2+2)}{k^2}


Problem/Ansatz:

Wie untersuche ich diese Folge auf Konvergenz?

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Aloha :)

Bei dem Patienten stört mich der Faktor (1)k(-1)^k, daher schlage ich eine Fallunterscheidung für gerade kk und für ungerade kk vor:ak=2k2+(1)k(k2+2)k2={3k2+2k2fu¨r gerade kk22k2fu¨r ungerade k}={(3+2k2)fu¨r gerade k(12k2)fu¨r ungerade ka_k=\frac{2k^2+(-1)^k(k^2+2)}{k^2}=\left\{\begin{array}{cl} \frac{3k^2+2}{k^2}&\text{für gerade \(k\)}\\[1ex]\frac{k^2-2}{k^2} &\text{für ungerade \(k\)}\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{cl} \left(3+\frac{2}{k^2}\right)&\text{für gerade \(k\)}\\[1ex]\left(1-\frac{2}{k^2}\right) &\text{für ungerade \(k\)}\end{array}\right.Für gerade kk hat (ak)(a_k) den Häufungspunkt 33, für ungerade kk den Häufungspunkt 11.

Daher konvergiert die Folge (ak)(a_k) nicht.

Avatar von 153 k 🚀

Danke, genau das (1)k(-1)^k hat mich vor Probleme gestellt.

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