Divergenz und Konvergenz beweisen

Question

Warum divergiert die Reihe \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{1/2n} \) und warum konvergiert \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{(3/5)^k} \) ?

Könnt ihr mir den Beweis aufschreiben?

Comments

Die zweite Reihe konvergiert nicht, wenn der Exponent k und der Zählindex n unterschiedlich sind.

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Das ist wohl ein Druckfehler. n oder k macht keinen Sinn.

Answer 1

(3/5)^k hat mit Formel den Summenwert: (3/5)/(1-3/5) = 3/5*5/2 ) = 3/2

a0= 3/5, q= 3/5

1/(2n) ist keine geometrische Reihe, nur eine Nullfolge.

Dass eine Folge eine Nullfolge ist, ist nur ein notwendiges, aber kein hinreichendes Kriterium für Konvergenz der Reihe . Das bedeutet: Aus der Tatsache, dass kann nicht gefolgert werden, dass konvergiert.

Auch wenn bei 1/(2n) die Werte immer kleiner werden, so wächst die Summe doch immer weiter, grenzenlos.

Answer 2

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{2n}} = \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{n}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}}\) divergiert wegen harmonische Reihe.

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\left(\frac{3}{5}\right)^n} \) konvergiert wegen geometrische Reihe.