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Berechnen Sie zu 308 das multiplikative Inverse modulo 585.

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Erweiterter Euklidischer Algorithmus

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Das multiplikativ Inverse zu 308 ist also -283 bzw. 302

308·302 - 159·585 = 1

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wie kommst du von-283 auf 302

-283 = -283 + 585 = 302 Modulo 585

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Berechnen Sie zu 308 das multiplikative Inverse modulo 585.

Alternativer Lösungsweg: Wegen 585=5*9*13

Suchst du diejenigen Zahlen x, für die gilt:

308 x ≡ 1 mod 5   (Kürzer: 3 x ≡ 1 mod 5)

und

308 x ≡ 1 mod 9  (Kürzer: 2 x ≡ 1 mod 9)

und
308 x ≡ 1 mod 13  (Kürzer: 9 x ≡ 1 mod 13)
Die letzte Kongruenz wird erfüllt für x=3, also gilt x=13k+3.

Einsetzen in

2 x ≡ 1 mod 9

ergibt

26k+6 ≡ 1 mod 9

26k+5 ≡ 0 mod 9

-k+5 ≡ 0 mod 9

k ≡ 5 mod 9

k=9n+5

Mit x=13k+3 wird daraus

x=117n+68

Das kann man dann in der ersten Kongruenz verwenden.

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