Leibnizkriterium Nullfolge zeigen

Question

Aufgabe:

Prüfe Reihe auf Konvergenz: \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{} \) (-1)^n*((n+1)^2023)/4^k-1

Problem/Ansatz:

Die Reihe scheint für mich konvergent nach dem Leibnizkriterium zu sein, ich komm aber nicht drauf, wie ich sauber zeige, dass es sich um eine Nullfolge handelt. Könnte mir da jemand weiter helfen?

Comments

Was hat es mit dem k auf sich?

---

Sorry, das sollte ein n werden. Das ist nur ein Tippfehler.

---

wolfram ist damit auch überfordert-

https://www.wolframalpha.com/input?i=sum+%28-1%29%5En*%28%28n%2B1%29%5E2023%29%2F4%5E%28n-1%29+from+0+to+infinit

---

Dann musst Du Dich entscheiden, ob die -1 zum Exponenten gehört oder Summand ist.

Jedenfalls würde ich dann mal das Quotientenkriterium versuchen.

---

Wie ist denn der Nenner geklammert?

(a) .../(4^n-1)

(b) .../4^(n-1)

---

Das Zweite also 4^(n-1)

Answer 1

Hier hilft das Wurzelkriterium schneller, mit dem du sogar absolute Konvergenz nachweist, womit dann die Kovergenz der alternierenden Reihe folgt.

Ich nehme mal die Version

$$\sum_{n=0}^{\infty}a_n = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{(n+1)^{2023}}{4^{n-1}}$$

Betrachte nun

$$\sqrt[n]{|a_n|} = \frac{\left(\sqrt[n]{n+1}\right)^{2023}}{\sqrt[n]{4^{n-1}}}= \frac{1}{4}\sqrt[n] 4\cdot \left(\sqrt[n]n\cdot \sqrt[n]{1+\frac 1n}\right)^{2023}\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}\frac 14 \cdot 1\cdot \left(1\cdot 1\right)^{2023}=\frac 14< 1$$

Also ist die Reihe sogar absolut konvergent.