Bestimme das Integral mit Hilfe der Substitutionsregel

Question

Hallo Leute!

Ich stelle wieder Fragen bzgl. der Substitutionsregel (Transofomation). Mir komm das Ergebnis nicht richtig vor. Ich habe als Ergebnis 1/2 ln(e-1) * pi rausbekommen, aber ist das mit dem ln so korrekt?? Wenn nein, was müsste da sonst rauskommen bzw. was müsste ich korrigieren?

Aufgabe:

Bestimme das Integral $\int \limits_{\mathcal{R}} \frac{1}{x^{2}+y^{2}+1} \mathrm{~d}(x, y)$. Verwendet man Polarkoordiaten
$\Psi(r, \phi)=\left(\begin{array}{l} x(r, \phi) \\ y(r, \phi) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} r \cos (\phi) \\ r \sin (\phi) \end{array}\right)$
entspricht $\mathcal{R}$ dem Bereich $\Psi\left(\mathcal{R}^{*}\right)$ mit
$\mathcal{R}^{*}=\left\{(r, \phi) \in \mathbb{R}^{2} \mid 0 \leq r \leq \sqrt{\mathrm{e}-1}, 0 \leq \phi \leq \pi\right\}$

Problem/Ansatz:

$\begin{array}{l}\text { (2) } \int \limits_{R} \frac{1}{x^{2}+y^{2}+1} d(x, y) \\ \psi(r, \phi)=\left(\begin{array}{l}x(r, \phi) \\ y(r, \phi)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}r \cos \phi \\ r \sin \phi\end{array}\right) \\ \begin{aligned} \mathbb{R}^{*}=\mathcal{L}(r, \phi) \in \mathbb{R}^{2} \mid & 0 \leqslant r \leqslant \sqrt{e-1}, \\ 0 & \leqslant \phi \leqslant \pi\}\end{aligned} \\ J \psi=\left(\begin{array}{cr}\cos (\phi) & -r \sin (\phi) \\ \sin (\phi) & r \cos (\phi)\end{array}\right) \\ |\operatorname{det} J \psi|=\left|r \cos ^{2}(\phi)+r \sin ^{2}(\phi)\right|=r \\ \int \limits_{0}^{\pi} \int \limits_{0}^{1} \frac{1}{r^{2}+1} \cdot r \cdot d r \cdot d \phi= \\ \int \frac{r}{u} d r=\int \frac{r}{u} \cdot \frac{1}{2 r} d u= \\ u=r^{2}+1 \\ \frac{d u}{d r}=2 r \\ d u=2 r d r \\ d r=\frac{1}{2 r} d u \\\end{array}$

$\begin{array}{l}\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u= \\ \frac{1}{2}[\ln | u|]=\frac{1}{2} \cdot\left[\ln \mid r^{2}+1\right]_{0}^{\sqrt{e-1}}= \\ =\frac{1}{2}\left[\ln \left|r^{2}+1\right|\right]_{0}^{\sqrt{e-1}} \cdot[\phi]_{0}^{\pi}= \\ =\frac{1}{2}[\ln |e-1|][\pi]= \\\end{array}$

Comments

Du hast R nicht angegeben, also kann man es nicht kontrollieren.

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Wie R nicht angegeben? Was genau meinst du? R entspricht ja diesen Bereich (s. oben)

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Wenn wir Deine Antwort prüfen sollen, dann müssen wir auch prüfen, ob $R=\Psi(R^{\ast})$ ist. Oder ist das schon von dem Aufgabensteller garantiert?

Answer 1

Aloha :)$$I=\iint\limits_{R}\frac{1}{x^2+y^2+1}\,dx\,dy=\int\limits_{r=0}^{\sqrt{e-1}}\int\limits_{\varphi=0}^\pi\frac{1}{r^2+1}\,\underbrace{r\,dr\,d\varphi}_{=dx\,dy}=\frac12\int\limits_{r=0}^{\sqrt{e-1}}\frac{2r}{r^2+1}\,dr\int\limits_{\varphi=0}^\pi\,d\varphi$$In dem $dr$-Integral steht im Zähler die Ableitung des Nenners:$$I=\frac12\left[\ln|r^2+1|\right]_{r=0}^{\sqrt{e-1}}\cdot\left[\varphi\right]_{\varphi=0}^{\pi}=\frac12\cdot\left(\ln(e)-\ln(1)\right)\cdot\pi=\frac12\cdot(1-0)\cdot\pi=\frac\pi2$$

Comments

Vielen Dank für deine Erklärung Tschakabumba, aber von wo kommt denn e^2? Denn wenn wir ($\sqrt{e-1})^2$ +1 = e-1+1 = e.

Als Ergebnis sollte dann $\frac{1}{2}$ π rauskommen. Habe ich einen Denkfehler?

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Wow, gut aufgepasst...

Das $e^2$ enstammt meiner Phantasie, ich habe mich vertan. Wenn man die obere Grenze $\sqrt{e-1}$ für in $r^2$ einsetzt, kommt natürlich $(e-1)$ raus und nicht $(e^2-1)$. Dann kommt auch $\frac\pi2$ raus.

Danke für den Hinweis, ich habe es korrigiert.

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Alles gut, vielen vielen Dank :)