Zeigen Sie die Existenz des unbestimmten Integrals

Question

Hallo, und zwar habe ich folgendes uneigentliche Integral

$\int\limits_{0}^{1}$ Betrag(ln(x)) gegeben.

Meine Aufgabe ist es dieses Integral auf Existenz zu überprüfen und den Wert ggf zu berechnen.

Wie gehe ich hier vor? Bilde ich die Stammfunktion und schaue anschließend, ob die Stammfunkzion für x gegen 1 (von links kommend) und x gegen 0 (von rechts kommend) konvergiert bzw divergiert?

Über eure Hilfe wäre ich euch sehr dankbar

Answer 1

Die von dir beschriebene Vorgehensweise ist grundsätzlich richtig, wenn es gelingt, eine Stammfunktion zu finden, was in diesem Fall einfach ist. Aber da die Funktion $y=|\ln x|$ auf dem Intervall $(0,1]$ stetig ist, musst du nur den Grenzwert an der unteren Grenze untersuchen:

$$\lim_{a\to 0^+}\int_a^1|\ln x|\,dx$$

Wir haben

$0<x\leq 1 \Rightarrow |\ln x| = -\ln x$. Damit erhältst du

$\int_a^1 |\ln x| \, dx = -\int_a^1 1\cdot \ln x \, dx = \left[-(x\ln x -\int x\cdot \frac 1x \, dx )\right]_a^1$

$= \left[x-x\ln x\right] _a^1 = (1-1\cdot \ln 1) - (a-a\ln a)$

$= \boxed{1-a+a\ln a}$

Um jetzt den Grenzwert $a\to 0^+$ zu bestimmen, benötigst du (z. Bsp. per L'Hospital)

$\lim_{a\to 0^+} a\ln a = \lim_{a\to 0^+} \frac{\ln a}{\frac 1a} \stackrel{L'Hosp.}{=}\lim_{a\to 0^+} \frac{\frac 1a}{-\frac 1{a^2}}$

$= \lim_{a\to 0^+} (-a) = 0$

Also insgesamt

$\int_0^1 |\ln x| \, dx = \lim_{a\to 0^+} (1-a+a\ln a) = 1-0+0 = 1$

Comments

Moin und danke für deine Aufführung. Hab alles gecheckt, nur bei einer Sache eine Frage: wie kommst du hier drauf?

$0<x\leq 1 \Rightarrow |\ln x| = -\ln x$

Da steh ich grad auf dem Schlauch.

Ich hab nämlich die selbe Lösung beim integrieren gehabt, nur waren meine Vorzeichen genau andersrum

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Ich verstehe nicht, was du meinst.

Das Integral mit der unteren Grenze $a$ wurde vorher berechnet und steht in der Box. Was gibt es da noch umzustellen?

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Falsche Sache markiert

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Der Logarithmus ist auf $(0,1)$ negativ. Um den Betrag zu erhalten, musst du also mit -1 multiplizieren.

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Ahhhhh, das macht Sinn. Danke