6LE Abstand von einem Punkt zu einer Geraden

Question

Aufgabe:

Gegeben ist eine Gerade g: x= (5/5/2) + s*(2/1/-2)

Welche Punkte liegen auf der Geraden g und haben vom Punkt A(2/8/4) den Abstand 10LE

Problem/Ansatz:

Die Lösung ist P(9/4/9) und Q(1/0/-1)

Wie kommt man darauf?

Danke

Comments

Beispiel hier:

https://www.google.de/search?q=abstand+punkt+gerade+abstand+gegeben&ei=M40MZLK5KfKJxc8Pr4G5gAU&oq=punkt+abstand+gerade+abstand+ist+ge&gs_lcp=Cgxnd3Mtd2l6LXNlcnAQARgAMgYIABAWEB46CggAEEcQ1gQQsAM6BQghEKABOggIIRAWEB4QHToHCCEQoAEQCkoECEEYAFD1BlirTWCBX2gIcAF4AIABqQGIAb0SkgEEMy4xN5gBAKABAcgBCMABAQ&sclient=gws-wiz-serp#fpstate=ive&vld=cid:2da9b60e,vid:CXXV2BgrGcs

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Ich komme auf andere Ergebnisse. Hast du die Gleichung und die Koordinaten von A richtig abgeschrieben?

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Da kommt man gar nicht drauf.

Die angeblichen Lösungs-Punkte liegen nicht auf der Geraden.

Sie haben auch nicht den Abstand 10 zum Punkt A.

Überprüfe bitte deine Angaben.

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Stimmt, es sind 6LE, der Rest sollte stimmen

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Nein, das stimmt auch nicht. Die Lösungspunke haben von A den Abstand \(\sqrt{90}\ne6\).

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Der Punkt P ist (5/2/-5) und Abstand 6LE

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P liegt nicht auf der Gleichung der Geraden, die du geschrieben hast.

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Ich schreibe jetzt nochmal hier alles neu, danke schoneinmal für euer Engagement:

g: x= (5/2/-5)+s*(2/1/-2)

Punkt P (5/2/-5)

Welche Punkte liegen auf der Geraden g und haben von P(5/2/-5) den Abstand 6LE?

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Da musst du doch gar nichts rechnen, sondern nur \(s=\pm2\) einzusetzen.

Aber dann kommen auch andere Punkte raus als in der Musterlösung.

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Aber wie komme ich darauf +- 2 einzusetzen?

Answer 1

Der Ortsvektor der Geraden und P haben die gleichen Koordinaten.

Wenn das so stimmt, suchst du einen Wert für s, so dass gilt

\(\sqrt{4s^2+s^2+4s^2}=6\\\sqrt{9s^2}=6\\ 9s^2=36\\ s^2=4\\ s=\pm 2\)

Wenn du die Ergebnisse für s in die Geradengleichung einsetzt, bekommst du die Koordinaten der gesuchten Punkte.

Gruß, Silvia

Answer 2

Aloha :)

Du sollst die Punkte bestimmen, die auf der Geraden \(g\) liegen und den Abstand \(6\) zum Ankerpunkt \((5|2|-5)\) der Geraden haben.$$g\colon\vec x(s)=\begin{pmatrix}5\\2\\-5\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}$$

Die Länge des Richtungsvektors beträgt:$$\left\|\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}\right\|=\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt9=3$$

Du musst dich also 2 Mal die Länge des Richtungsvektors vom Ankerpunkt entfernen.

Daher ist \(s=\pm2\) und die gesuchten Punkte sind: \(P(9|4|-9)\) und \(Q(1|0|-1)\).

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Danke vielmals