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Aufgabe:

Die Zeit-Ort-Gleichung einer Forschungssonde ist durch g: x =(100/87/0)+ t* (28/18/14) gegeben
(alle Koordinaten in m, t in min).
Die Sonde wird morgens um 8 Uhr im Punkt (100 | 87 | 0) ins Meer gelassen, um Walgesänge in einer Tiefe von 2000 Metern aufzuzeichnen. Die Sonde bewegt sich geradlinig und mit konstanter Geschwindigkeit.
Die Sonde bewegt sich geradlinig und mit konstanter Geschwindigkeit.

Ein Hai schwimmt ebenfalls mit konstanter Geschwindiskeit und geradlinig gemäß der Gleichung: h: x =(220/174/-48)+ t* (-12/-11/2)

Berechnen Sie, ob er mit der Sonde kollidieren würde.

Problem/Ansatz:

Wir haben ja bei beiden Gleichungen die variable t. Bei vielen Aufgaben muss man es gleichsetzen und als lineares Gleichungssystem eine variable ändern. Bei dieser Aufgabe muss man es jedoch nur gleich setzen und nach t auflösen. Woher weiß ich, wann es zwei variablen braucht oder wann es nur eine ( so wie hier) braucht

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Aloha :)

Wir sollen prüfen, ob sich die beiden Geraden in einem Punkt treffen:

$$g\colon\vec x(t)=\begin{pmatrix}100\\87\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}28\\18\\14\end{pmatrix}\quad;\quad h\colon\vec y(t)=\begin{pmatrix}220\\174\\-48\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-12\\-11\\2\end{pmatrix}$$

Da für die Sonde und den Hai die Zeit gleich schnell vergeht, ist der Parameter \(t\) für beide Geraden derselbe. Da die Vektoren gleich sein sollen, müssen insbesondere die \(x_3\)-Koordinaten gleich sein:$$0+t\cdot14=-48+t\cdot2\quad\big|\text{kürzer aufschreiben}$$$$14t=-48+2t\quad\big|-2t$$$$12t=-48\quad\big|\div12$$$$t=-4$$

Wir prüfen nun, ob für \(t=-4\) auch die anderen Komponenten gleich sind:$$\vec x(-4)=\begin{pmatrix}-12\\15\\-56\end{pmatrix}\quad;\quad \vec y(-4)=\begin{pmatrix}268\\218\\-56\end{pmatrix}$$

Zu dem Zeitpunkt, wo die \(x_3\)-Koordinaten von Hai und Sonde gleich sind, befinden sie sich an unterschiedlichen \(x_1\)- und \(x_2\)-Koordinaten. Das heißt, Sonde und Hai treffen nicht aufeinander.

Avatar von 148 k 🚀
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Zu einer Kollision kommt es nur dann, wenn die beiden Objekte (Sonde und Hai) zum gleichen Zeitpunkt an die Stelle kommen, wo ihre (geradlinigen) Bahnen sich schneiden.

Falls es zwar einen Schnittpunkt der Bahnen gibt, die Sonde aber dort z.B. deutlich früher vorbel kommt als der Hai  (unterschiedliche t-Werte), kommt es nicht zur Begegnung.

Avatar von 3,9 k

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