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welche Zeilen darf man da verwenden und was darf man NICHT machen? Wenn ich zum Beispiel das Gleichungssystem

 

I: 1, -1, 1, 0

II: -1, 2, -1, 22

III: 2, -1, -1, -2

 

könnte man ja auf die Idee kommen, III - 2*II zu berechnen und dann II + 1/2*III. Natürlich geht das nicht, aber warum nicht? Und welche Fälle gibt es noch, wo man nicht jede beliebige Zeile verwenden darf?

Soweit ich weiß, darf man im zweiten Schritt, wenn man z.B. III - 2*II und II + I gerechnet hat

I: 1, -1, 1, 0

II: 0, 1, 0, 22

III: 0, -5, 1, -46

doch auch nicht mehr die erste Gleichung verwenden, oder? Ich kann jetzt quasi nur noch III + 5*II berechnen.

Ich steige da nicht ganz durch, was ich darf und was nicht, das ist mein Problem.

Kann mir jemand erklären, was man darf und was nicht - und warum?

Danke ;)

 

Thilo
von 4,4 k

2 Antworten

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Beste Antwort
Der Witz ist, dass du mit jeder Operation eine Zeile veränderst. Darum sind die Operationen, die du vorgeschlagen hast, nicht möglich, weil du Schritte rückgängig machen musst.

Du möchtest ja gerne zwei Operationen durchführen, aber für beide die Gleichungen aus dem aktuellen Satz nutzen: das ist nicht erlaubt. Wenn du die erste Operation durchgeführt hast, dann hat der Satz sich verändert und nur mit den drei neuen Gleichungen dürfen weitere Operationen durchgeführt werden.

 

Es gibt drei erlaubte Operationen:

1.) Zwei Zeilen vertauschen

2.) Eine Zeile mit einer beliebigen Zahl (außer 0) malnehmen

3.) Das Vielfache einer beliebigen Zeile zu einer anderen Zeile addieren

Das heißt, wenn man z.B. deine erste gewünschte Operation III+2*II (ich nehme mal an, dass du eigentlich + meintest) durchführt, dann erhält man:

I: 1, -1, 1, 0
II: -1, 2, -1, 22
III: 2, -1, -1, -2

I: 1, -1, 1, 0
II: -1, 2, -1, 22
III: 0, 3, -3, 42

Und jetzt führt die Operation II+1/2*III gar nicht mehr zum gewünschten Ergebnis.

 

Zur zweiten Frage: doch, du darfst die erste Zeile da noch benutzen - aber sie führt erstmal zu nichts mehr. Denn wenn du sie zu einer der beiden anderen Zeilen addierst, dann holst du dir immer wieder zusätzliche Variablen hinein. Die erste Variable hast du ja schon aus II und III eliminiert, in I kommt sie aber noch vor.
von 10 k
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Im ersten Schritt verwende ich immer die erste Zeile und eine darauffolgende um in den darauffolgenden eine Variable zu eliminieren.

Im zweiten Schritt verwende ich immer die 2. und eine darauffolgende um wieder eine Variable zu entfernen.

So geht's dann bis zum Schluss. Nur wenn in der aktuellen Zeile die Variable fehlt die ich in den darunter folgenden eliminieren will, muss ich einen Zeilentausch vornehmen.

[1, -1, 1, 0]
[-1, 2, -1, 22]
[2, -1, -1, -2]

I + II und 2*I - III

[0, 1, 0, 22]
[0, -1, 3, 2]

II + III

[0, 0, 3, 24]

nun können wir es rückwärts auflösen

3z = 24
z = 8

1y = 22
y = 22

z - y + z = 0
z - 22 + 8 = 0
z = 22 - 8
z = 14
von 379 k 🚀

Kann nochmal jemand alle Schritte die beim Gauß Verfahren nicht erlaubt sind zusammenfassen? Ich finde wirklich überall alles was ich tun darf, aber was genau dabei verboten ist ist mir immer noch ein wenig unklar.

Danke im voraus!

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