Gauß-Algorithmus:Zeilen tauschen nach Umformungen

Question

Hi, angenommen ich habe eine Matrix A  gegeben und möchte diese dann nach den Regeln vom Gauß-Algorithmus umformen.

Ich weiß, dass ich zu Beginn die Zeilen vertauschen darf, kann ich das aber auch noch tun, wenn ich bereits einige Umformungen wie Addition von Zeilen etc. durchgeführt habe?

Angenommen die von mir angegebene Matrix B wäre durch die Umformung der Matrix A entstanden, jetzt möchte ich die Matrix B in Zeilenstufenform bringen, um die Lösung des zu A gehörenden LGS herauszufinden.

Es wäre jetzt sehr toll, wenn ich einfach Zeile 2 und 3 tauschen könnte und dann wäre es ja nur noch ein Schritt, würde so das Ergebnis verfälscht werden?

$$B:=\begin{pmatrix}4 &5&0&0\\1&2&3&0\\8&3&0&0\\1&3&7&3 \end{pmatrix}$$

Answer 1

Ja. Du darfst auch später noch Zeilen tauschen.

Answer 2

Deine Matrix:

1 3 7 3
1 2 3 0
8 3 0 0
4 5 0 0 

Ich erzeuge nun eine links obere Matrix:

Zeile 4 = Zeile 4 - 5/3(Zeile 3)

     1  3  7  3
     1  2  3  0
     8  3  0  0
-28/3 0  0  0

Zeilen kannst du tauschen, vielleicht sollte man hierbei noch erwähnen, dass du das dann für eine komplette Zeile machen musst, das wird (oft) vergessen. Mal ein Beispiel:

Du hast deine A Matrix und den b Vektor, Ax = b ist das LGS, wichtig ist, wenn du Zeilen in A tauscht, musst du das auch in b machen (Das bezieht sich auf die Schreibweise unten)! Wenn man das alles in eine große Matrix packt, dann ist das sicherlich offensichtlicher mit den Zeilenvertauschungen :)

$$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}$$

Answer 3

Ja darfst du, da alle Umformungen äquivalent sind, also die Lösungsmenge des LGS unverändert erhalten bleibt.