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Aufgabe: Gegeben ist die Dichtefunktion. Bestimme den Erwartungswert ( E[X^2] ) wie folgt:

\( \int \limits_{-\infty}^{\infty}-x^{2} \cdot 2 \cdot \frac{x}{a} e^{\frac{x^{2}}{a}} d x \) 


Problem/Ansatz:

Ich bekomme das Integral nicht geknackt, obwohl ich es mit partieller Integration und Substitution versucht habe.

Mache ich es zu kompliziert?

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Ich bekomme das Integral nicht geknackt

Wenn du damit meinst, keine Stfkt gefunden zu haben : Das ist nicht schlimm

Was ist denn da die Dichte?

1 Antwort

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Aloha :)

Der Integrand$$f(x)=-\frac{2x^3}{a}e^{\frac{x^2}{a}}$$ist eine punktsymmetrische Funktion:$$f(-x)=-\frac{2(-x)^3}{a}e^{\frac{(-x)^2}{a}}=\frac{2x^3}{a}e^{\frac{x^2}{a}}=-f(x)$$Daher heben sich alle Beiträge links von der \(y\)-Achse gegen alle Beiträge rechts von der \(y\)-Achse gegenseitig auf.

Das heißt, das Integral ist \(=0\).

~plot~ 2x^3/12*e^(x^2/12) ; [[-3|3|-5|5]] ~plot~

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Zur vollständigen Begründung fehlt der Nachweis der Existenz des Integrals.

$$\lim\limits_{c\to\infty}\int\limits_{-c}^cf(x)\,dx=\lim\limits_{c\to\infty}0=0$$

Das entspricht nicht der Definition des uneigentlichen Riemann Integrals und ebenfalls nicht der in der Wahrscheinlichkfitstheotie üblichen Lebesgue-Integrierbarkeit.

Übrigens, was ist die Dichte?

Das sagt Wolfram Alpha zu dem Integral:

blob.png

Wie schon zuvor erklärt, beziehe ich mich u.a. auf die Definition des uneigentlichen Rieman-Integrals - wie es zum Beispiel in Wikipedia erklärt wird und auch in der Literatur üblich ist.

Daneben gibt es den Begriff des Cauchy-Hauptwerts, der sehr selten benötigt wird.

Im übrigen habe ich ein anderes Wolfram-Alpha

Außerdem kann ein Erwartungswert über x^2 als Integrand nur eine nichtnegative Funktion haben.

wgMath.jpg

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