Aufgabe:
Es soll überprüft werden, ob folgende Funktion injektiv bzw surjektiv ist.
f: ℝ2 → ℝ2, (x, y) ↦ (x+1, -y)
Problem/Ansatz:
Injektivität stellt kein Problem dar, lediglich verstehe ich nicht, wie man formal richtig zeigt, dass sie surjektiv ist, oder eben nicht.
Mit freundlichen Grüßen und vielen Dank!
Sei \(g: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2\) durch \(g(x,y)=(x-1,-y)\) gegeben.
Dann ist \(g\circ f=id_{\mathbb{R}^2}\) und \(f\circ g=id_{\mathbb{R}^2}\).
\(f\) besitzt also eine Umkehrabbildung und ist damit bijektiv.
Wenn ich die Funktion ℝ → ℝ, (x,y) ↦ (-y, x) gegeben habe und auf Sirjektivität prüfen soll, kann ich also analog so verfahren:
Sei g(x,y) = (y,-x). Dann ist $$f\circ g=id_{\mathbb{R}^{2} }$$ => f ist bijektiv, da Umkehrabbildung existiert => surjektiv?
Du musst beides zeigen:
\(g\circ f=id_{\mathbb{R}^2}\) und \(f\circ g=id_{\mathbb{R}^2}\).
Dann ist alles bestens.
wie man formal richtig zeigt, dass sie surjektiv ist
Wenn x ganz ℝ durchläuft, dann durchläuft auch x+1 ganz ℝ.
Wenn y ganz ℝ durchläuft, dann durchläuft auch - y ganz ℝ.
Wenn (x|y) ganz ℝ×ℝ durchläuft, dann durchläuft auch (x+1|-y) ganz ℝ×ℝ.
Man kann doch leicht sehen, dass diese Abbildung eine einfache Parallelverschiebung mit dem Verschiebungsvektor \( \begin{pmatrix} +1\\-1\end{pmatrix} \) ist.
Das ist selbstverständlich eine bijektive (also injektive und surjektive) Abbildung von ℝ2 auf ℝ2 .
Man kann doch leicht sehen, dass diese Abbildung eine einfache Parallelverschiebung ... ist
Das sehe ich nicht so.
Naja, wenn man sich mal so ein paar Jahre (bis Jahrzehnte) ausführlich mit Geometrie in der Ebene beschäftigt hat, bringt man das halt nicht mehr weg ...
Es handelt sich um eine Spiegelung an der x-Achse,
gefolgt von einer Translation mit dem Vektor (1,0).
Oh je, da habe ich anscheinend (ganz zu Beginn) ein Minuszeichen übersehen. Die Bijektivität ist damit allerdings nicht verletzt. Sorry.
Alles klar! Kein Problem ;-)
Ein anderes Problem?
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