Kern andere Schreibweise?

Question

Aufgabe:

Wie kommt man auf die Lösung? Ich habe die Lösungsmenge immer anders geschrieben und weiß nicht wie man zu dem Ergebnis kommt.

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}(\mathbf{A} \mid \mathbf{b}) \rightsquigarrow\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 2 & 3 & 14 \\ 0 & -3 & -6 & -24 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \\ \Longrightarrow \operatorname{Rang}(\mathbf{A})=2, \quad \operatorname{Kern}(\mathbf{A})=\operatorname{Span}\left(\begin{array}{c}1 \\ -2 \\ 1\end{array}\right), \quad \mathcal{L}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right)+\operatorname{Span}\left(\begin{array}{c}1 \\ -2 \\ 1\end{array}\right) \\\end{array} \)

Answer 1

Aloha :)

Der Kern enhält alle Vektoren, die von \(A\) auf \(\vec 0\) abgebildet werden. Um ihn zu bestimmen, forme das Gleichungssystem durch elementare Zeilenumformungen so um, dass möglichst viele Spalten entstehen, die lauter Nullen und genau eine 1 enthalten:$$\begin{array}{rrr|c|l}x & y & z & = &\text{Operation}\\\hline1 & 2 & 3 & 0 &\\0 & -3 & -6 & 0 & \div(-3)\\\hline1 & 2 & 3 & 0 & -2\cdot\text{Gleichung 2}\\0 & 1 & 2 & 0\\\hline\pink1 & 0 & -1 & 0 & \Rightarrow \pink x-z=0\\0 & \pink1 & 2 & 0 & \Rightarrow\pink y+2z=0\end{array}$$Nun stelle die erhaltenen Bedingungsgleichungen nach der pinken Variable um:$$\pink x=z\quad;\quad\pink y=-2z$$und du kannst alle Vektoren des Kerns angeben:$$\vec k=\begin{pmatrix}\pink x\\\pink y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}z\\-2z\\z\end{pmatrix}=z\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}=\mathbb R\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$$