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Aufgabe:

1. Es sei \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, f\left(\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{l}x_{1}+x_{2} \\ x_{2}+x_{3} \\ x_{1}-x_{3}\end{array}\right) \). Bestimmen Sie Kern und Bild von \( f \). Bestimmen Sie \( \operatorname{dim}(\operatorname{ker} f) \) und \( \operatorname{dim}(\operatorname{im} f) \).
2. Es sei \( g: \mathbb{R}^{5} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) eine lineare Abbildung. Welche Werte kann \( \operatorname{dim}(\operatorname{ker} g) \) annehmen? Geben Sie für jeden möglichen Wert ein Beispiel an.


Problem/Ansatz:

Hey wie verwende ich hier die Formel dim V = dim ker f + dim im f? Mir wurde gesagt dass dim V 5 entsprechen würde, wieso ist das so?

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Aloha :)

zu 1) Hier kannst du sofort ein Erzeugendensystem für den Bildraum ablesen:$$f\left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}x_1+x_2\\x_2+x_3\\x_1-x_3\end{pmatrix}=x_1\underbrace{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}_{\vec v_1}+x_2\underbrace{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}_{\vec v_2}+x_3\underbrace{\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}}_{\vec v_3}$$

Man sieht sofort, dass \(\vec v_2=\vec v_1+\vec v_3\) ist, sodass die 3 Erzeugenden-Vektoren linear abhängig sind. Der Bildraum wird daher von den beiden linear unabhängigen Vektoren \(\vec v_1\) und \(\vec v_3\) aufgespannt und ist daher 2-dimensional:$$\operatorname{Bild}(f)=\left(\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\right)$$

Gemäß des Dimensionssatzes muss der Kern von \(f\) 1-dimensional sein. Aus der Erzeugenden-Darstellung des Bildes kann man ablesen, unter welchen Voraussetzungen, alle 3 Koordinaten zu Null werden:$$x_2=-x_1\quad;\quad x_2=-x_3\quad;\quad x_1=x_3$$Damit kennen wir alle Vektoren des Kerns:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_3\\-x_3\\x_3\end{pmatrix}=x_3\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$$und halten fest:$$\operatorname{Kern}(f)=\left(\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\right)$$


zu 2) Der Quellraum \(\mathbb R^5\) ist 5-dimensional. Der Zielraum \(\mathbb R^3\) ist 3-dimensional. Die Dimension des Bildes der Funktion muss daher kleiner oder gleich \(3\) sein, denn das Bild der Funktion muss ja in den \(\mathbb R^3\) reinpassen.

Gemäß des Dimensionssatzes$$\operatorname{dim}(\operatorname{Kern}(f))=5-\operatorname{dim}(\operatorname{Bild}(f))$$ist der Kern der Abbildung daher 2- bis 5-dimensional.

Beispiele für die jeweiligen Fälle:$$g(x_1;x_2;x_3;x_4;x_5)=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\qquad(\text{Kern-Dimension }5)$$$$g(x_1;x_2;x_3;x_4;x_5)=\begin{pmatrix}x_1\\0\\0\end{pmatrix}\qquad(\text{Kern-Dimension }4)$$$$g(x_1;x_2;x_3;x_4;x_5)=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\0\end{pmatrix}\qquad(\text{Kern-Dimension }3)$$$$g(x_1;x_2;x_3;x_4;x_5)=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\qquad(\text{Kern-Dimension }2)$$

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Es ist \(V=\mathbb{R}^5\) und damit ist die Dimension von \(V\) gleich 5. Allgemein hat der Vektorraum \(\mathbb{R}^n\) die Dimension \(n\). Die Standardbasis \(\{e_1,\ldots,e_n\}\) bestehend aus den Einheitsvektoren enthält \(n\) Vektoren, die linear unabhängig sind.

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woran erkennt man dass die dim gleich 5 ist?

Das steht in meiner Antwort: Der Vektorraum \(\mathbb{R}^n\) hat die Dimension \(n\). Steht sowas nicht in deinen Unterlagen? Ansonsten kann man zeigen, dass die Menge der Vektoren, bestehend aus den Einheitsvektoren, eine maximale linear unabhängige Menge von Vektoren des Vektorraums ist.

Ich habe die ganze Zeit von der Aufgabe 1 gesprochen und konnte nicht verstehen wie da dim V 5 zustande kommt, aber anscheinend meintest du die Aufgabe 2. xD

Bei Aufgabe 1 kommt eine Dimension von 5 auch nirgends vor. Deswegen kann es sich nur um Aufgabe 2 gehandelt haben...

Dann gibt es ja nur zwei Möglichkeiten: entweder hat man Dir einen falschen Tipp gegeben, oder Du hast den (richtigen) Tipp falsch verstanden.

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