Kern andere Schreibweise?

Question

Aufgabe:

Wie kommt man auf die Lösung? Ich habe die Lösungsmenge immer anders geschrieben und weiß nicht wie man zu dem Ergebnis kommt.

Text erkannt:

$\begin{array}{l}(\mathbf{A} \mid \mathbf{b}) \rightsquigarrow\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 2 & 3 & 14 \\ 0 & -3 & -6 & -24 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \\ \Longrightarrow \operatorname{Rang}(\mathbf{A})=2, \quad \operatorname{Kern}(\mathbf{A})=\operatorname{Span}\left(\begin{array}{c}1 \\ -2 \\ 1\end{array}\right), \quad \mathcal{L}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right)+\operatorname{Span}\left(\begin{array}{c}1 \\ -2 \\ 1\end{array}\right) \\\end{array}$

Answer 1

Aloha :)

Der Kern enhält alle Vektoren, die von $A$ auf $\vec 0$ abgebildet werden. Um ihn zu bestimmen, forme das Gleichungssystem durch elementare Zeilenumformungen so um, dass möglichst viele Spalten entstehen, die lauter Nullen und genau eine 1 enthalten:$$\begin{array}{rrr|c|l}x & y & z & = &\text{Operation}\\\hline1 & 2 & 3 & 0 &\\0 & -3 & -6 & 0 & \div(-3)\\\hline1 & 2 & 3 & 0 & -2\cdot\text{Gleichung 2}\\0 & 1 & 2 & 0\\\hline\pink1 & 0 & -1 & 0 & \Rightarrow \pink x-z=0\\0 & \pink1 & 2 & 0 & \Rightarrow\pink y+2z=0\end{array}$$Nun stelle die erhaltenen Bedingungsgleichungen nach der pinken Variable um:$$\pink x=z\quad;\quad\pink y=-2z$$und du kannst alle Vektoren des Kerns angeben:$$\vec k=\begin{pmatrix}\pink x\\\pink y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}z\\-2z\\z\end{pmatrix}=z\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}=\mathbb R\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$$