Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Du kannst zwei Mal partiell ableiten...
Die erste partielle Ableitung sieht so aus:
$$\int\underbrace{1}_{=u'}\cdot\underbrace{\ln^2\left(\frac x2\right)}_{=v}\,dx=\underbrace{x}_{=u}\cdot\underbrace{\ln^2\left(\frac x2\right)}_{=v}-\int\underbrace{x}_{=u}\cdot\underbrace{\overbrace{2\ln\left(\frac x2\right)}^{\text{Abl. } (\cdots)^2}\cdot\overbrace{\frac{1}{\frac x2}}^{\text{Abl. }\ln(\cdots)}\cdot\overbrace{\frac 12}^{\text{Abl. } \frac x2}}_{=v'}\,dx\implies$$$$\int\ln^2\left(\frac x2\right)=x\ln^2\left(\frac x2\right)\pink-\int2\ln\left(\frac x2\right)dx$$
Die zweite partielle Ableitung sieht so aus:
$$\int\underbrace{2}_{=u'}\cdot\underbrace{\ln\left(\frac x2\right)}_{=v}\,dx=\underbrace{2x}_{=u}\cdot\underbrace{\ln\left(\frac x2\right)}_{=v}\,dx-\int\underbrace{2x}_{=u}\cdot\underbrace{\overbrace{\frac{1}{\frac x2}}^{\text{Abl. }\ln(\frac x2)}\cdot\overbrace{\frac12}^{\text{Abl. }\frac x2}}_{=v'}\,dx\implies$$$$\int2\ln\left(\frac x2\right)=2x\ln\left(\frac x2\right)-\int2\,dx=2x\ln\left(\frac x2\right)-2x+\text{const}$$
Wir setzen die Lösung zusammen und beachten dabei das \(\pink{\text{Minuszeichen}}\) oben:$$\int\ln^2\left(\frac x2\right)\,dx=x\ln^2\left(\frac x2\right)-2x\ln\left(\frac x2\right)+2x+\text{const}$$
