Wo habe ich den Fehler gemacht bei der partiellen Integration?

Question

Ich soll bei den folgenden Term die partielle Integration für das Integrieren benutzen. Dabei kommt am Ende jedoch immer genau ein Vorzeichenfehler raus und ich verstehe nicht wieso.

$\int\limits_{}^{}$ x² sin(x) dx

=> -x² * cos(x) - $\int\limits_{}^{}$ -2x * cos(x)

=> -x² * cos(x) + 2x * sin(x) - $\int\limits_{}^{}$ -2 * sin(x)

=> -x² * cos(x) + 2x * sin(x) - 2 * cos(x) + C

Laut der Musterlösung ist das fast korrekt. Am Ende müsste nämlich ein - 2 * (-cos(x)) stehen und nicht wie bei mir ein positives cos(x).

Wo habe ich den Fehler gemacht?

Comments

Zur Kontrolle:

https://www.integralrechner.de/

Answer 1

Formel anwenden, dann vereinfachen. Nicht zu viele Zwischenschritte im Kopf erledigen.

$\begin{aligned} & -x^{2}\cos(x)-\int-2x\cos(x)\mathrm{d}x\\ = & -x^{2}\cos(x)-\left(-2x\sin(x)-\int-2\sin(x)\mathrm{d}x\right)\\ \end{aligned}$

Answer 2

∫ x² * sin(x) dx = - x² * cos(x) - ∫ - 2 * x * cos(x) dx

= - x² * cos(x) + ∫ 2 * x * cos(x) dx

= - x² * cos(x) + 2 * x * sin(x) - ∫ 2 * sin(x) dx

= - x² * cos(x) + 2 * x * sin(x) - (- 2 * cos(x)) + C

= - x² * cos(x) + 2 * x * sin(x) + 2 * cos(x) + C

Answer 3

Hallo

in der zweiten Zeile ist das Minus im Integral falsch

lul

Answer 4

Grundsätzlicher Hinweis:
Doppelte "$-$" zu "$+$" vereinfachen.

Bevor das zweite Integral berechnet wird, Klammern setzen.
Dann sieht das nämlich so aus:

$$\int x^2\sin x \; dx = -x^2 \cos x + 2\int x\cos x\; dx$$

$$= -x^2 \cos x + 2\left(x\sin x - \int \sin x \; dx\right)$$

$$= -x^2 \cos x + 2\left(x\sin x + \cos x \right) (+C)$$