Primzahl der Form 4n+1 als Hypotenusenlänge

Question

Zeige: Es gibt keine Primzahl der Form 4n+1 (n∈ℕ), die sich nicht als Hypotenusenlänge eines pythagoreischen Dreiecks eignet.

Answer 1

Die Antwort findest du hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoreische_Primzahl

EDIT:

Hier ist ein Artikel auf Deutsch zum Thema, falls jemand Zagiers Beweis verstehen will:

https://www.math.tugraz.at/~elsholtz/WWW/papers/papers10zmasem060.pdf

Answer 2

Doppelte Verneinung ist Bejahung:

Zeige: Es gibt Primzahlen der Form 4n+1 (n∈ℕ), die sich als Hypotenusenlänge eines pythagoreischen Dreiecks eignet.

\(4n+1\)    mit   \(n=1\)    \(x^2+y^2=1\)

\(4n+1\)   mit   \(n=3\)     \(x^2+y^2=(\frac{13}{2})^2\)

\(4n+1\)  mit   \(n=4\)      \(x^2+y^2=(\frac{17}{2})^2\)

\(4n+1\)  mit   \(n=7\)      \(x^2+y^2=(\frac{29}{2})^2\)

\(4n+1\)  mit   \(n=9\)      \(x^2+y^2=(\frac{37}{2})^2\)

\(4n+1\)  mit   \(n=10\)      \(x^2+y^2=(\frac{41}{2})^2\)

u.s.w.

Comments

Aber die sind ja nicht pythagoreisch.

---

Mancher hat auch großen Spaß

ohne den ausgelutschten Pythagoras. :)

---

Doppelte Verneinung ist Bejahung:

Zeige: Es gibt Primzahlen der Form 4n+1 (n∈ℕ), die sich als Hypotenusenlänge eines pythagoreischen Dreiecks eignet.

Es gibt keine x mit ¬E(x)

ist äquivalent zu

Für alle x gilt E(x)

---

Der Sinn dieser Antwort erschließt sich mir nicht.

Wieso z.B. x²+y²=1?

Richtig wäre:

n=1 → 4n+1=5 → 3^2+4^2=5^2

Warum danach 13/2 usw. als Hypotenusequadrat steht, ist ebenfalls rätselhaft.