Beweise den Satz. Es gibt unendlich viele Primzahlen der Form 4n+3

Question

Hallo. Ich versuche gerade Folgenden Beweis zu verstehen

Satz 2.2. Es gibt unendlich viele Primzahlen der Form 4n + 3.

Beweis. Angenommen es gibt nur endlich viele Primzahlen der Gestalt 4n + 3. Man
betrachtet die Zahl N := 4(p1 p2...pr) − 1. Da sowohl das Produkt zweier Zahlen der
Form 4k + 1 als auch der Form 4k + 3 die Gestalt 4k + 1 hat, hat N die Form 4k + 3.
Die Primfaktoren können daher auch nicht alle die gleiche Form haben, es muss also
mindestens einen Faktor 4m + 3 geben, der N teilt und keiner von den pi
ist, da sonst
auch (4m + 3) | 1 gelten würde. Dies ist aber nicht möglich. Daher existieren unendlich
viele Primzahlen der Form 4n + 3.

Den markierten Satz verstehe ich nicht ganz.

Besten Dank für die hilfe

Answer 1

Da sowohl das Produkt zweier Zahlen der
Form 4k + 1 als auch der Form 4k + 3 die Gestalt 4k + 1 hat, hat N die Form 4k + 3.

Zwei Zahlen der Form 4k+1 wären etwa 4k+1 und 4n+1

Deren Produkt (4k+1)*( 4n+1) = 16kn + 4k + 4n + 1 =4(4kn + k + n) + 1

hat auch wieder diese Form mit 4kn + k + n statt n.

Entsprechend auch

(4k+3)*( 4n+3) = 16kn + 12k + 12n + 9= 16kn + 12k + 12n + 8+1 
 =4(4kn + 3k + 3n + 2) + 1.