Primzahlen. Zeigen, dass jede Zahl 4m+3 mit m€N0 von Primzahl der Form 4n+3 mit n€N0 geteilt wird.

Question

wir brauchen hilfe bei folgender Aufgabe zu den Primzahlen.

Zeigen Sie, dass jede Zahl der Form 4m+3 mit m e N0 von einer Primzahl der Form 4n+3 mit n e N0 geteilt wird.

Irgendwie finden wir keine Lösung, nicht mal ansatzweise.

Comments

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Es geht im Prinzip um die Zahlen der Form 4n-1 vgl. https://www.mathelounge.de/355464/jede-primzahl-p-2-hat-die-form-4%C… und darum, dass diese einen Primteiler derselben Form haben. Also auch ungerade und nicht 1 grösser sondern eins kleiner als eine durch 4 teilbare Zahl.

Der Fall, dass 4*m + 3 eine Primzahl ist, ist der Trivialfall, dann ist m=n und 4*n + 3 Primteiler von 4*m+3.

Interessant sind die andern Fälle, wo 4m + 3 oder 4k - 1 keine Primzahlen sind, da muss es gemäss Behauptung ein r € Z geben so dass

4m+3 = r * (4n+3) mit 4n+3 ist prim.

???

Answer 1

4m+3 ist immer eine ungerade Zahl.

Ungerade Zahlen haben entweder die Form 4k+1 oder 4k+3.

Wenn z=4m+3 keinen Primteiler der Form 4n+3 hätte, sähe die Primfaktorzerlegung bei zwei Faktoren so aus:

z=(4j+1)*(4k+1)=16jk+4j+4k+1=4*(4jk+j+k)+1.

Das widerspricht aber der Vorgabe z=4m+3.

:-)